2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тетраэдр и перестановки (сохранение ориентации при преобразо
Сообщение19.06.2007, 10:42 


15/04/07
85
Самара, СамГУ
Помогите с задачками:
Если в тетраэдре посмотреть со стороны точки D на треугольник ABC, то точки A, B, C могут идти по часовой стрелки или против, поэтому различают 2-ве ориентации тетраэдра.
1) Сохраняют ли ориентацию тетраэдра следующие преобразования: $a=\left(\begin{array}{cccc}A&B&C&D\\B&C&A&D\end{array}\right)$-вращение на 120 вокруг высоты; $b=\left(\begin{array}{cccc}A&B&C&D\\D&C&B&A\end{array}\right)$-вращение на 180 вокруг оси, проходящей через середину ребер AD и BC; $c=\left(\begin{array}{cccc}A&B&C&D\\A&C&B&D\end{array}\right)$-отражение относительно плоскости, проходящей через ребро AD и середину BC; преобразование, порождающее циклическую подстановку $d=\left(\begin{array}{cccc}A&B&C&D\\B&C&D&A\end{array}\right)$.
(Все симметрии правильного тетраэдра образуют группу, которая называется группой симметрий тетраэдра)
2) Сколько элементов в группе симметрий тетраэдра?
3) В группе симметрий тетраэдра найти подгруппы, изоморфные: а) группе симметрий треугольника, б) циклической группе $Z_4$.
4) Доказать, что все симметрии тетраэдра, сохраняющие ориентацию, образуют группу. Сколько в ней элементов?
(Группа симметрий тетраэдра, сохраняющих ориентацию, называется группой вращений тетраэдра)
5)В группе вращений тетраэдра найти подгруппы, изоморфные циклическим группам: а) $Z_2$, б) $Z_3$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2007, 11:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
А нельзя ли здесь использовать четность или нечетность перестановки вершин?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2007, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
У кристаллографов, например, принято этого слона ощупывать с другой стороны. Группа симметрии тетраэдра состоит из 24 элементов; 12 из них сохраняют ориентацию, остальные инвертируют. Все вращения - сохраняют. Все отражения - инвертируют. И так далее...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2007, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
ИСН писал(а):
У кристаллографов, например, принято этого слона ощупывать с другой стороны. Группа симметрии тетраэдра состоит из 24 элементов; 12 из них сохраняют ориентацию, остальные инвертируют. Все вращения - сохраняют. Все отражения - инвертируют. И так далее...
Я бы озаглавил это так: "Группа \[S_4 \] глазами кристаллографов" :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2007, 11:57 


15/04/07
85
Самара, СамГУ
А про то как здесь четность использовать нельзя ли поподробнее?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2007, 12:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Brukvalub писал(а):
Я бы озаглавил это так: "Группа \[S_4 \] глазами кристаллографов" :D

- А знаешь, Мыкола, як те математики нашу $T_d$ кличут?
- Як же?
- Эс четы-ы-ыре!
- Ух, повбывав бы! :twisted:
:lol: :lol:
Теперь про чётность. Кажется, если перестановка чётна - она сохраняет ориентацию, а если нет - то инвертирует.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2007, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вы понимаете, что всякая симметрия тетраэдра описывается перестановкой его 4-х вершин, то есть элементом группы \[S_4 \]. А эта группа - конечная, и небольшого порядка (4!=24). Поэтому, как Вам писал ИСН, ее можно "потрогать руками", просто перебрав последовательно все ее 24 элемента и посмотрев, к какому результату приводит действие каждого из них. Причем, понятно, что действия некоторых элементов приводят к одному и тому же результату (например, перестановка только двух вершин), поэтому можно сильно сократить перебор. Короче, можно раскладывать перестановки в произведение независимых циклов, а уж для циклов все устанавливается просто "руками"

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2007, 12:40 


15/04/07
85
Самара, СамГУ
1) Разлагаем перестановки a, b, c, d в произведение независимых циклов и смотрим на их четность: a=(ABC)-чет, b=(AD)(BC)-чет, c=(BC)-нечет, d=(ABCD)-нечет => a и b-сохраняют ориентацию, c и d-нет.
2) Т. к. любая симметрия тетраэдра есть перестановка 4-х его вершин(=> перестановки принадлежат группе $S_4$), то в группе симметрий тетраэдра 4!=24 элемента.
Эти пункты верны? С остальными пока затрудняюсь

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2007, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Верно, двигайтесь дальше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2007, 13:25 


15/04/07
85
Самара, СамГУ
Как проверять изоморфность?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2007, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
1) А как устроена (описывается) группа симметрий треугольника?
2) Чтобы построить изоморфизм подгруппы и циклической группы, хорошо бы найти в исходной группе элемент такого же порядка, каков порядок образующей в циклической группе, а дальше - ясно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.09.2007, 10:10 


15/04/07
85
Самара, СамГУ
Поднимаю старую тему(из-за дурости забил, теперь надо сделать до завтра или меня в пн отчислят), прошу помогите с 3,4,5 задачами, очень надо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.09.2007, 10:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я-то полагал, что мы всё уже разжевали to the highest degree.

3) а) элементы, которые оставляют на месте одну вершину и переставляют остальные (ведь эти остальные три, о чудо, образуют треугольнег)
б) элемент, соответствующий инверсионной оси четвёртого порядка (меняет местами все 4 вершины), и его степени (в четвёртой степени получится единица).
4) Проверить выполнение групповых аксиом. Произведение двух таких элементов - это опять такой элемент, правда? Всего их 12.
5) порождаются элементами, соответствующими осям симметрии с поворотом на 180° (проходит через середину ребра) и на 120° (проходит через вершину), соответственно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.09.2007, 11:28 


15/04/07
85
Самара, СамГУ
с 3 вроде разобрался, в 4 достаточно проверить для любых 2-х элементов? В 5 непонял как делать, как к этому прийти?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.09.2007, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
О господи. Что значит "проверить для любых 2-х элементов"? Вы как понимаете смысл слова "доказать"? (Я не издеваюсь, спрашивая очевидные вещи - просто вдруг они не совсем очевидные, или даже совсем не очевидные...) А то проверил один такой: 60 делится на 2, 3, 4, 5, 6 - ну хватит, ясно, 60 делится на все числа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group