Тетраэдр и перестановки (сохранение ориентации при преобразо

[RgWhite]

Помогите с задачками:
Если в тетраэдре посмотреть со стороны точки D на треугольник ABC, то точки A, B, C могут идти по часовой стрелки или против, поэтому различают 2-ве ориентации тетраэдра.
1) Сохраняют ли ориентацию тетраэдра следующие преобразования: $a=\left(\begin{array}{cccc}A&B&C&D\\B&C&A&D\end{array}\right)$-вращение на 120 вокруг высоты; $b=\left(\begin{array}{cccc}A&B&C&D\\D&C&B&A\end{array}\right)$-вращение на 180 вокруг оси, проходящей через середину ребер AD и BC; $c=\left(\begin{array}{cccc}A&B&C&D\\A&C&B&D\end{array}\right)$-отражение относительно плоскости, проходящей через ребро AD и середину BC; преобразование, порождающее циклическую подстановку $d=\left(\begin{array}{cccc}A&B&C&D\\B&C&D&A\end{array}\right)$.
(Все симметрии правильного тетраэдра образуют группу, которая называется группой симметрий тетраэдра)
2) Сколько элементов в группе симметрий тетраэдра?
3) В группе симметрий тетраэдра найти подгруппы, изоморфные: а) группе симметрий треугольника, б) циклической группе $Z_4$.
4) Доказать, что все симметрии тетраэдра, сохраняющие ориентацию, образуют группу. Сколько в ней элементов?
(Группа симметрий тетраэдра, сохраняющих ориентацию, называется группой вращений тетраэдра)
5)В группе вращений тетраэдра найти подгруппы, изоморфные циклическим группам: а) $Z_2$, б) $Z_3$.

[Brukvalub]

А нельзя ли здесь использовать четность или нечетность перестановки вершин?

[ИСН]

У кристаллографов, например, принято этого слона ощупывать с другой стороны. Группа симметрии тетраэдра состоит из 24 элементов; 12 из них сохраняют ориентацию, остальные инвертируют. Все вращения - сохраняют. Все отражения - инвертируют. И так далее...

[Brukvalub]

ИСН писал(а):

У кристаллографов, например, принято этого слона ощупывать с другой стороны. Группа симметрии тетраэдра состоит из 24 элементов; 12 из них сохраняют ориентацию, остальные инвертируют. Все вращения - сохраняют. Все отражения - инвертируют. И так далее...

Я бы озаглавил это так: "Группа

\[S_4 \]

глазами кристаллографов"

[RgWhite]

А про то как здесь четность использовать нельзя ли поподробнее?

[ИСН]

Brukvalub писал(а):

Я бы озаглавил это так: "Группа

\[S_4 \]

глазами кристаллографов"

- А знаешь, Мыкола, як те математики нашу $T_d$ кличут?
- Як же?
- Эс четы-ы-ыре!
- Ух, повбывав бы!

Теперь про чётность. Кажется, если перестановка чётна - она сохраняет ориентацию, а если нет - то инвертирует.

[Brukvalub]

Вы понимаете, что всякая симметрия тетраэдра описывается перестановкой его 4-х вершин, то есть элементом группы

\[S_4 \]

. А эта группа - конечная, и небольшого порядка (4!=24). Поэтому, как Вам писал ИСН, ее можно "потрогать руками", просто перебрав последовательно все ее 24 элемента и посмотрев, к какому результату приводит действие каждого из них. Причем, понятно, что действия некоторых элементов приводят к одному и тому же результату (например, перестановка только двух вершин), поэтому можно сильно сократить перебор. Короче, можно раскладывать перестановки в произведение независимых циклов, а уж для циклов все устанавливается просто "руками"

[RgWhite]

1) Разлагаем перестановки a, b, c, d в произведение независимых циклов и смотрим на их четность: a=(ABC)-чет, b=(AD)(BC)-чет, c=(BC)-нечет, d=(ABCD)-нечет => a и b-сохраняют ориентацию, c и d-нет.
2) Т. к. любая симметрия тетраэдра есть перестановка 4-х его вершин(=> перестановки принадлежат группе $S_4$), то в группе симметрий тетраэдра 4!=24 элемента.
Эти пункты верны? С остальными пока затрудняюсь

[Brukvalub]

Верно, двигайтесь дальше.

[RgWhite]

Как проверять изоморфность?

[Brukvalub]

1) А как устроена (описывается) группа симметрий треугольника?
2) Чтобы построить изоморфизм подгруппы и циклической группы, хорошо бы найти в исходной группе элемент такого же порядка, каков порядок образующей в циклической группе, а дальше - ясно.

[RgWhite]

Поднимаю старую тему(из-за дурости забил, теперь надо сделать до завтра или меня в пн отчислят), прошу помогите с 3,4,5 задачами, очень надо!

[ИСН]

Я-то полагал, что мы всё уже разжевали to the highest degree.

3) а) элементы, которые оставляют на месте одну вершину и переставляют остальные (ведь эти остальные три, о чудо, образуют треугольнег)
б) элемент, соответствующий инверсионной оси четвёртого порядка (меняет местами все 4 вершины), и его степени (в четвёртой степени получится единица).
4) Проверить выполнение групповых аксиом. Произведение двух таких элементов - это опять такой элемент, правда? Всего их 12.
5) порождаются элементами, соответствующими осям симметрии с поворотом на 180° (проходит через середину ребра) и на 120° (проходит через вершину), соответственно.

[RgWhite]

с 3 вроде разобрался, в 4 достаточно проверить для любых 2-х элементов? В 5 непонял как делать, как к этому прийти?

[ИСН]

О господи. Что значит "проверить для любых 2-х элементов"? Вы как понимаете смысл слова "доказать"? (Я не издеваюсь, спрашивая очевидные вещи - просто вдруг они не совсем очевидные, или даже совсем не очевидные...) А то проверил один такой: 60 делится на 2, 3, 4, 5, 6 - ну хватит, ясно, 60 делится на все числа.