Равностепенная непрерывность заданного множества

[lord2894]

Доброго времени суток форумчане!
Задача проверить на предкомпактность следующие множество функций в ${C_{[0,1]}}$ - ${ \lbrace x(t) | $$\sin {($$\sqrt x + a)} , a \in \mathbb{R} \rbrace }$
Пользуюсь теоремой Асколи-Арцела.
Ограниченность тут очевидна, а вот на равностепенной ограниченностью я застрял.
На семинарах мы как правило пользовались собственно определением равностепенной непрерывности, где модуль разности функций при разных x ($x_1, x_2$) оценивали с помощью теоремы Лагранжа.
Но в моём случае производная не ограниченна, следовательно такая оценка ничего не дает. Мне видится два пути развития событий:
1) Воспользоваться теоремой Кантора о равномерно непрерывности на отрезке и как-то из этого получить равностепенную непрерывность заданного семейства.
2) Как-то воспользоваться тем, что образ компактного пространства - компакт.

Ни первым, ни вторым способом ничего пока добиться не удалось, посему прошу Вашей помощи.

[ewert]

lord2894 в сообщении #832657 писал(а):

${ \lbrace x(t) | [math]$$\sin {($$\sqrt x + a)} , a \in \mathbb{R} \rbrace }$[/math]

Т.е. это множество всех функций $x(t)$ таких, что... А каких, собственно?

[lord2894]

ewert в сообщении #832669 писал(а):

lord2894 в сообщении #832657 писал(а):

${ \lbrace x(t) | [math]$$\sin {($$\sqrt x + a)} , a \in \mathbb{R} \rbrace }$[/math]

Т.е. это множество всех функций $x(t)$ таких, что... А каких, собственно?

Прошу прощения, видимо не до конца освоился с LaTeX:

$ \lbrace x(t) | x(t)=$$\sin{(\sqrt{t} + a)}$$, a \in \mathbb{R} \rbrace $

P.S.: Нашел недочет в описании проблемы "Ограниченность тут очевидна, а вот на равностепенной ограниченностью" - естественно не равностепенная ограниченность, а равностепенная непрерывность.

[ewert]

lord2894 в сообщении #832714 писал(а):

видимо не до конца освоился с LaTeX:

Нет, это-то я прочитал (просто результат копипастения позабавил -- у Вас там соседние баксы оказались слитыми, а редактировать Ваш код в своём ответе показалось лень, пусть необходимое редактирование и тривиально).

Дело не в ТеХе. Дело в том, что я всё-таки не понимаю, о каком именно множестве функций идёт речь. Ваш набор значков мне кажется бессмысленным. И даже если это лишь по моей тупости -- не могли бы Вы всё-таки открытым текстом сказать, о чём в точности идёт речь?...

[lord2894]

ewert в сообщении #832721 писал(а):

lord2894 в сообщении #832714 писал(а):

видимо не до конца освоился с LaTeX:

Нет, это-то я прочитал (просто результат копипастения позабавил -- у Вас там соседние баксы оказались слитыми, а редактировать Ваш код в своём ответе показалось лень, пусть необходимое редактирование и тривиально).

Дело не в ТеХе. Дело в том, что я всё-таки не понимаю, о каком именно множестве функций идёт речь. Ваш набор значков мне кажется бессмысленным. И даже если это лишь по моей тупости -- не могли бы Вы всё-таки открытым текстом сказать, о чём в точности идёт речь?...

Еще раз прошу простить меня) конечно:
$ \lbrace x(t) | x(t)=$$\sin{(\sqrt{t} + a)}$$, a \in \mathbb{R} \rbrace $
Думаю теперь всё в порядке.

[ewert]

Да, теперь всё тип-топ, но ответить сходу не берусь (опять же лень думать).

[DLL]

$x(t)=\sin{(\sqrt{t} + a)}=cos{a} \sin{\sqrt{t}}+sin{a} \cos{\sqrt{t}}$

[lord2894]

DLL в сообщении #832898 писал(а):

$x(t)=\sin{(\sqrt{t} + a)}=\cos{a} \sin{\sqrt{t}}+\sin{a} \cos{\sqrt{t}}$

Да, эту формулу я прекрасно знаю, но пока для меня остается загадкой как она может мне помочь. Определение равностепенной непрерывности:

$ \forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0 : |t_1 - t_2| < \delta \Rightarrow |x(t_1) - x(t_2)| < \varepsilon$ $\forall x \in K $

т.е. в моем случае нужно оценить $ |\sin{(\sqrt{t_1} + a)}-\sin{(\sqrt{t_2} + a)}| $, и предоставленная Вами формула никак мне в этом не помогает. (допускаю тот факт, что просто не хватает ума).

Можно немного подробнее, что вы имели в виду?

[ewert]

Равномерная непрерывность конкретной функции означает, что для неё существует такая вещь, как "модуль непрерывности". А равностепенная непрерывность -- что для всех функций из данного множества есть некий общий модуль непрерывности. Вот последнее и проверяйте.

[lord2894]

Проверьте мысль пожалуйста):
$ A=\lbrace x(t)\;|\;x(t)=$$\sin{(\sqrt{t} + a)}$$,\;a \in \mathbb{R} \rbrace $
Определение равностепенной непрерывности:

$$ \forall \varepsilon>0\;\exists \delta_1>0: |t_1-t_2|<\delta_1 \Rightarrow |x(t_1)-x(t_2)|<\varepsilon, \forall x \in A $$

Из $|t_1-t_2|<\delta_1$ следует

$$|\sqrt t_1 -\sqrt t_2|<\sqrt \delta_1 = \delta$$

Далее функция sin(t) - непрерывна на $\mathbb{R}$ следовательно она непрерывна в нуле:
Пусть

$$ t=\frac {\sqrt t_1 - \sqrt t_2} 2 $$

тогда

$$\forall \varepsilon_0>0\;\exists \delta>0: |t-0|=|\frac {\sqrt t_1 - \sqrt t_2} 2|<\delta \Rightarrow |\sin(t)-0|=|\sin(\frac {\sqrt t_1 - \sqrt t_2} 2)|<\varepsilon_0, \forall x \in A $$

Выберем

$$ \varepsilon_0=\frac \varepsilon 2 $$

тогда рассмотрим модуль разности функции при разных аргументах из определения равностепенной непрерывности:

$$ |\sin(\sqrt t_1 +a)-\sin(\sqrt t_2 +a)|=|2 \sin(\frac {\sqrt t_1 - \sqrt t_2} 2) \cos(\frac {\sqrt t_1 + \sqrt t_2 +2a} 2)|<2 \cdot \frac \varepsilon 2 \cdot 1 =\varepsilon$$

Следовательно множество А равностепенно непрерывно в $C_{[0,1]}$

[ex-math]

Так у Вас $a$ одно и то же. Это только на равномерную непрерывность тянет.

[ewert]

lord2894 в сообщении #833519 писал(а):

$=|\frac {\sqrt t_1 + \sqrt t_2} 2|<\delta $

Это безнадёжно: если плюс, то ни на какую непрерывность ни разу не выведет -- ни в каком смысле непрерывность: ни ту, что нужна, ни даже в ту, что отнюдь.

Кроме того, это ещё и безыдейно, ибо чересчур технично. Лучше попытайтесь вникнуть всё-таки в совет

DLL в сообщении #832898 писал(а):

$x(t)=\sin{(\sqrt{t} + a)}=\cos{a} \sin{\sqrt{t}}+\sin{a} \cos{\sqrt{t}}$

[lord2894]

ex-math в сообщении #833524 писал(а):

Так у Вас $a$ одно и то же. Это только на равномерную непрерывность тянет.

Так и в определении рассматривается модуль разности одной функции при разных аргументах. Насколько я понимаю - важно, чтобы при фиксированном эпсилон взятое дельта приводило к нужному для всех функций в семействе. Т.е. чтобы существовал общий модуль непрерывности.

-- 06.03.2014, 22:02 --

ewert в сообщении #833532 писал(а):

lord2894 в сообщении #833519 писал(а):

$=|\frac {\sqrt t_1 + \sqrt t_2} 2|<\delta $

Это безнадёжно: если плюс, то ни на какую непрерывность ни разу не выведет -- ни в каком смысле непрерывность: ни ту, что нужна, ни даже в ту, что отнюдь.

Кроме того, это ещё и безыдейно, ибо чересчур технично. Лучше попытайтесь вникнуть всё-таки в совет

DLL в сообщении #832898 писал(а):

$x(t)=\sin{(\sqrt{t} + a)}=\cos{a} \sin{\sqrt{t}}+\sin{a} \cos{\sqrt{t}}$

Там конечно минус исправил в том посте. Ошибся когда перепечатывал с бумаги.

Слишком технично равно не верно? В совет пока не вник, вернее так когда я делал на бумаге провел туже работу, но в последнем рассматриваемом неравенстве раскрывал именно в таком виде и только когда закончил понял, что то что написанно сейчас и с этой формулой одно и тоже. Иначе как делать пока не пойму.

[ex-math]

Прошу прощения, Вы правы.
Тогда все проходит. Только лучше не апеллировать к непрерывности синуса, а оценить его через его аргумент. И все сводится к равномерной непрерывности $\sqrt t$.

[lord2894]

Следовательно множество А равностепенно непрерывно в $C_{[0,1]}$[/quote]

ex-math в сообщении #833552 писал(а):

Прошу прощения, Вы правы.
Тогда все проходит. Только лучше не апеллировать к непрерывности синуса, а оценить его через его аргумент. И все сводится к равномерной непрерывности $\sqrt t$.

Т.е. нечто вроде этого:

$$ |\sin(\sqrt t_1 +a)-\sin(\sqrt t_2 +a)|=|\cos a \cdot (\sin(\sqrt t_1)-\sin(\sqrt t_2)) + \sin a \cdot (\cos(\sqrt t_1)-\cos(\sqrt t_2))|\leqslant$$

$$\leqslant |\cos a|\cdot| (\sin(\sqrt t_1)-\sin(\sqrt t_2))| + |\sin a |\cdot| (\cos(\sqrt t_1)-\cos(\sqrt t_2))|<$$

$$<|(\sin(\sqrt t_1)-\sin(\sqrt t_2))| + |(\cos(\sqrt t_1)-\cos(\sqrt t_2))|<|(\sqrt t_1-\sqrt t_2)| + |(\sqrt t_1-\sqrt t_2)|< 2 \cdot \delta $$