Равностепенная непрерывность заданного множества

[ex-math]

Нет, еще проще, как у Вас в том большом посте в конце:

$$ |\sin(\sqrt t_1+a)-\sin(\sqrt t_2+a)|\leqslant|\sqrt t_1-\sqrt t_2|. $$

[lord2894]

Т.е пойдет нечто вроде этого?

$ A=\lbrace x(t)\;|\;x(t)=\sin{(\sqrt{t} + a)},\;a \in \mathbb{R} \rbrace $
Определение равностепенной непрерывности:

$$ \forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0: |t_1-t_2|<\delta \Rightarrow |x(t_1)-x(t_2)|<\varepsilon, \forall x \in A $$

рассмотрим модуль разности функции при разных аргументах из определения равностепенной непрерывности:

$$ |\sin(\sqrt t_1 +a)-\sin(\sqrt t_2 +a)|<|\sqrt t_1 + a - \sqrt t+2 -a |=|\sqrt t_1 - \sqrt t_2|$$

Функция

$$\sqrt t$$

равномерно непрерывна следовательно:

$$\forall \varepsilon_0>0\;\exists \delta>0: |t_1-t_2|<\delta \Rightarrow |\sqrt t_1-\sqrt t_2|<\varepsilon_0$$

откуда

$$ |\sin(\sqrt t_1 +a)-\sin(\sqrt t_2 +a)|<|\sqrt t_1 + a - \sqrt t+2 -a |=|\sqrt t_1 - \sqrt t_2|<\varepsilon_0=\varepsilon $$

Следовательно множество А равностепенно непрерывно в $C_{[0,1]}$

[ex-math]

lord2894
Самое главное-то -- формулу для разности синусов -- выбросили зачем-то. А только из нее и следует нужная оценка, ведь в разности синусы не оценишь, а вот в произведении -- другое дело.

[lord2894]

ex-math в сообщении #833977 писал(а):

lord2894
Самое главное-то -- формулу для разности синусов -- выбросили зачем-то. А только из нее и следует нужная оценка, ведь в разности синусы не оценишь, а вот в произведении -- другое дело.

Т.е вот так:

$ A=\lbrace x(t)\;|\;x(t)=\sin{(\sqrt{t} + a)},\;a \in \mathbb{R} \rbrace $
Определение равностепенной непрерывности:

$$ \forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0: |t_1-t_2|<\delta \Rightarrow |x(t_1)-x(t_2)|<\varepsilon, \forall x \in A $$

рассмотрим модуль разности функции при разных аргументах из определения равностепенной непрерывности:

$$ |\sin(\sqrt t_1 +a)-\sin(\sqrt t_2 +a)|<|\sqrt t_1 + a - \sqrt t+2 -a |=|\sqrt t_1 - \sqrt t_2|$$

Функция

$$\sqrt t$$

равномерно непрерывна следовательно:

$$\forall \varepsilon_0>0\;\exists \delta>0: |t_1-t_2|<\delta \Rightarrow |\sqrt t_1-\sqrt t_2|<\varepsilon_0$$

откуда

$$ |\sin(\sqrt t_1 +a)-\sin(\sqrt t_2 +a)|=|2\sin{\frac {\sqrt t_1 - \sqrt t_2} 2}\cos {\frac {\sqrt t_1 + \sqrt t_2 + 2a} 2}|<|\frac {\sqrt t_1 - \sqrt t_2} 2|<\frac {\varepsilon_0} 2 =\varepsilon $$

Следовательно множество А равностепенно непрерывно в $C_{[0,1]}$

[ex-math]

Не пойму зачем Вы пишете формулу после слов "рассмотрим модуль разности".
Все нужные оценки сделаны у Вас в последней строчке, только на два делить не надо.

[lord2894]

ex-math в сообщении #834321 писал(а):

Не пойму зачем Вы пишете формулу после слов "рассмотрим модуль разности".
Все нужные оценки сделаны у Вас в последней строчке, только на два делить не надо.

Забыл стереть просто) нужно быть более внимательным)