Теория вероятности, гауссовский вектор

[ejk]

Добрый день.
Имеется задача по теор. вероятности.

"Пусть $\vec{\xi}$ - произвольный гауссовский вектор из $\mathbb{R}^2$. Найти матрицу A такую, что $\vec{\xi}A = \vec{\eta}$, где $\vec{\eta}$ - гауссовский вектор, у которого координаты независимы."

Как я пыталась решить:

Ну во-первых, стоит заметить, что при линейном преобразовании гауссовский вектор остается гауссовским. Во-вторых, что координаты гауссовского вектора из $RR^2$ независимы тогда и только тогда, когда они некорелированны. А также я нашла свойство матрицы ковариации гауссовского вектора, что если $cov (\vec{\xi}A) = Acov (\vec{\xi})A^T$
Также я записала само это выражение и у меня получилось, что

$\begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & \sigma^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sigma^2 & cov(\xi_1,\xi_2) \\ cov(\xi_1,\xi_2) & \sigma^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} $


Далее у меня получилась система на 4 неизвестных, но там каждое выражение противоречит другому. Мб я что-то делаю не так?

UPD: также мне перефразировали эту задачу: какое преобразование сделает случайные величины независимыми? Но это не сильно помогло :с

[svv]

Может, после такого преобразования диагональные элементы ($\sigma^2$) изменятся, но это не страшно?
Пожалуйста, объясните (я в этом действительно не разбираюсь), почему в общем случае диагональные элементы равны?

[ejk]

svv

я вот думала, что мб матрица А - матрица из собственных векторов матрицы ковариации для кси? Тогда на диагонали должны стоять собственные числа этой матрицы.

Но если $\vec{\eta}$ тоже гауссовский, то в его матрице ковариаций будут стоять сигмы в квадрате на диагоналях?

-- 01.03.2014, 18:23 --

svv в сообщении #831734 писал(а):

почему в общем случае диагональные элементы равны?

Потому что он гауссовский, значит его координаты случайные величины с распределением Гаусса. А если считать ковариации двух случайных величин с одинаковым распределением, то там будет дисперсия на диагоналях, которая и равна сигме в квадрате

[svv]

Если матрица не приведена к диагональному виду, то на диагонали ещё не собственные числа. Потом, когда привели — да. Они не обязательно совпадают.

В матрице ковариации на диагонали стоят дисперсии компонент вектора, но они в общем случае различны: $\sigma_1^2, \sigma_2^2, ... ,\sigma_n^2$.

Мне кажется, в качестве матрицы преобразования Вам подойдет
$\begin{pmatrix}\cos\varphi& -\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}\end{pmatrix}$
Надо только $\varphi$ найти, чтобы недиагональные элементы обратились в нуль.

-- Сб мар 01, 2014 16:34:19 --

ejk в сообщении #831738 писал(а):

Потому что он гауссовский, значит его координаты случайные величины с распределением Гаусса. А если считать ковариации двух случайных величин с одинаковым распределением, то там будет дисперсия на диагоналях, которая и равна сигме в квадрате

Тогда я не знаю, извините, если запутал.

[profrotter]

А почему у вас дисперсии координат произвольного гауссова вектора одинаковы и равны дисперсиям координат результирующего вектора?

Получается неизвестных 4, а уравнений 2.

Преобразование ваше имеет вид:

$$\overset{\circ}{\eta_1}=\overset{\circ}{\xi_1}\cos(\alpha)+\overset{\circ}{\xi_2}\sin(\alpha)$$

$$\overset{\circ}{\eta_2}=-\overset{\circ}{\xi_1}\sin(\alpha)+\overset{\circ}{\xi_2}\cos(\alpha)$$

Осталось $\alpha$ найти. А вас спросят откуда, мол, такое преобразование с потолка свалилось? А тут надо в учебник смотреть про всякие повороты сплющенного колокольчика.

[ejk]

profrotter

Ну а разве $cov(\xi_1,\xi_1)$ не равно дисперсии этой величины? А дисперсия зависит от распределения, а распределение будет одинаковым же.

-- 01.03.2014, 18:41 --

Кажется поняла. Распределение то одно, а параметры поменяются, так?

-- 01.03.2014, 18:46 --

svv

а почему именно такая? Это же поворот на угол, если не ошибаюсь.

[svv]

Совершенно верно. Аналог приведения эллипса к главным осям. По этим осям направлены собственные векторы матрицы ковариации. Надо найти угол поворота системы координат, после которого собственные векторы будут направлены по осям новой системы координат.

[ejk]

svv

Получается, что угол будет зависеть от параметров распределения результирующего вектора?
Я составила систему исходя из свойств матрицы ковариации.

[svv]

Ну, только не результирующего, а исходного. Когда ковариационная матрица приведена к диагональному виду, только по ней уже никто не сможет сказать, как она выглядела до того.

[ejk]

svv

я запуталась. Нужно составить систему или просто приводить матрицу к диагональному виду? Просто я еще не понимаю, как вычислять смешанную ковариацию.

[svv]

Матрицу ковариации $A$ к диагональному виду приводить не требуется, но требуется найти такую матрицу $S$, которая её приводит к диагональному виду. То есть матрица $A'=S^T\!\! A S$ должна быть диагональной.

Эта матрица $S$ имеет такой вид, как мы с profrotter написали. В ней один-единственный неизвестный параметр (угол поворота системы координат), от которого зависят все четыре её элемента. И у Вас одно-единственное требование, которому надо удовлетворить: что внедиагональные элементы $a'_{12}=a'_{21}$ результирующей матрицы $A'$ равны нулю. Это на самом деле одно условие, так как $A'$ обязательно симметрична.

Таким образом, у Вас «система» из одного уравнения с одним неизвестным.

ejk в сообщении #831755 писал(а):

я еще не понимаю, как вычислять смешанную ковариацию

Это Вы про ковариацию в исходной матрице $A$, или же в $A'$? Если второй вариант, то надо расписать, чему равен соответствующий матричный элемент в $A'=S^T\!\! A S$.

-- Сб мар 01, 2014 18:10:40 --

Обозначения у меня не такие, как у Вас.

[ejk]

svv

в исходной,потому что в матрице А` смешанная ковариация будет нулевая, т.к. координаты уже буду независимы. А вообще же не нужно вычислять её, она ведь в решении как таковом и не участвует?

У меня получилось, что матрица S будет выглядеть таким образом:

$\sin(\alpha)=\cos(\alpha)=1/\sqrt{2}$

[svv]

Нет, пока это не то, что нужно.
В исходной — не знаю, это относится к теории вероятностей. А я только про линейно-алгебраическую часть.

ejk в сообщении #831774 писал(а):

потому что в матрице А` смешанная ковариация будет нулевая, т.к. координаты уже буду независимы.

Это правильно, но только если будет правильно найдена матрица перехода $S$, т.е. если будет правильно найден $\varphi$. А чтобы его найти, надо записать, чему равен $a'_{12}$ при произвольном $\varphi$ (вовсе не нулю!), потребовать, чтобы $a'_{12}=0$, и из этого условия найти такой угол (или углы) $\varphi$, когда это справедливо.

Распишем $A'=S^T\!\!A S$:
$\begin{pmatrix}a'_{11} & a'_{12} \\ a'_{21} & a'_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\varphi & \sin\varphi \\-\sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\\sin\varphi & \cos\varphi\end{pmatrix}$
Отсюда
$a'_{12}=(a_{22}-a_{11})\cos\varphi\sin\varphi+a_{12}\cos^2\varphi-a_{21}\sin^2\varphi$
Требуем, чтобы это обращалось в нуль. С учетом $a_{12}=a_{21}$ получаем $\tg 2\varphi=\frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}$.

Дальше Вы.

[ejk]

svv
Погодите, погодите. Но у нас же $a_{11}=a_{22}$

[svv]

Точно? А то я 3 раза и profrotter 1 раз намекали, что это не обязательно так.