Непрерывность функции двух переменных

[tech]

Здравствуйте.
Имеется следующая задача:
Найти все точки разрыва функции
$f(x,y)=xsin\frac1y, y\ne0$
$f(x,y)=0, y=0$
При $x \to 0$, $y \to y_0$ с помощью неравенства $|xsin\frac1y|\le|x|$ легко видеть, что двойной предел равен 0. Точки непрерывности.
При $y \to y_0$, $x \to x_0$, x_0\ne0 мы можем взять для любого $x_0$ две последовательности, которые сходятся к разным числам. Предела нет, разрыв.
Но как можно доказать, что $f(x,y) \to f(x_0,y_0)$ при $x \to x_0,y \to y_0, y_0\ne0$?

[provincialka]

Может, просто по свойствам пределов. При $y\ne 0$ неопределенности же нет.

[tech]

Но по каким свойствам пределов?
В одномерном случае есть теорема о непрерывности произведения/частного/суммы двух непрерывных функций. Но у этой теоремы другая область применения.
В случае двух переменных мы обычно используем оценки и переход к полярным координатам, но они здесь вроде не помогают.

[Otta]

tech в сообщении #830063 писал(а):

В одномерном случае есть теорема о непрерывности произведения/частного/суммы двух непрерывных функций.

А в многомерном ее нет?

[B@R5uk]

tech в сообщении #830013 писал(а):

Но как можно доказать, что $f(x,y) \to f(x_0,y_0)$ при $x \to x_0,y \to y_0, y_0\ne0$?

Когда нет идей о том, как схитрить, то делают по определению. Разность значений функции в точке $\left\{ {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right\}$ и в точке из окрестности $\left\{ {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right\}$ должна быть бесконечно мала при стремлении расстояния между точками к нулю. Для приведённой вами функции в таком подходе нет ничего сложно, надо только вспомнить формулу для разности синусов.

[tech]

Otta,
Есть. Сумма/произведение непрерывных функций нескольких переменных есть непрерывная функция.
Но здесь произведение функции от $x$ и функции от $y$.

[Joker_vD]

$f(x,y)=x$ — функция вполне себе от двух переменных.

[tech]

Кажется, придумал. Буду рад, если кто-нибудь проверит правильность/найдёт ошибки.
Вводим полярные координаты. $\rho=({(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})^{1/2}$

$|xsin\frac1y-x_0sin\frac1{y_0}|=|(x_0+\rho\cos\phi)sin\frac1{y_0+\rho\sin\phi}-x_0sin\frac1{y_0}|\le$

$\le|x_0||sin\frac1{y_0+\rho\sin\phi}-sin\frac1y_0|+\rho|cos\phi||\sin\frac1{y_0+\rho\sin\phi}|\le$
Распишу разность синусов как произведение синуса на косинус и сразу оценю (модуль синуса не превосходит модуль аргумента, модуль косинуса не превосходит 1). Заодно оцениваю правую половинку суммы.

$\le|x_0||\frac1{y_0+\rho\sin\phi}-\frac1y_0|+\rho\le|x_0||\frac1{{y_0}^2{\rho}^{-1}+y_0sin\phi}|+\rho$

Левое слагаемое при $\rho \to 0$ стремится к 0 при любом $\phi$. Как бы это уже значит, что весь наш начальный модуль стремится к нулю, но всё равно подскажите, нельзя ли как нибудь оценить последнее выражение, чтобы в нём не осталось $\phi$?

[B@R5uk]

Полярные не нужны. Просто икс и дельта икс.

[tech]

А что, где-то ошибка?
Последний штрих:
$|{y_0}^2{\rho}^{-1}+y_0sin\phi|\ge \min\{|\frac{y_0^2}{\rho}-y_0|,|\frac{y_0^2}{\rho}+y_0|\}$
Избавились от $\phi$.
Вроде доказалось.

[B@R5uk]

tech в сообщении #830242 писал(а):

А что, где-то ошибка?

Не вникал, если честно.

Вот так, на мой взгляд, красивее:

$$\begin{matrix} \left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\sin \frac{1}{{{y}_{0}}+\Delta y}-{{x}_{0}}\sin \frac{1}{{{y}_{0}}}= \\ ={{x}_{0}}\left( \sin \frac{1}{{{y}_{0}}+\Delta y}-\sin \frac{1}{{{y}_{0}}} \right)+\Delta x\sin \frac{1}{{{y}_{0}}+\Delta y}= \\ =-2{{x}_{0}}\sin \frac{\Delta y}{2{{y}_{0}}\left( {{y}_{0}}+\Delta y \right)}\cos \frac{2{{y}_{0}}+\Delta y}{2{{y}_{0}}\left( {{y}_{0}}+\Delta y \right)}+\Delta x\sin \frac{1}{{{y}_{0}}+\Delta y} \\ \end{matrix}$$

А ещё у меня есть нехорошие подозрения на счёт начала координат. Впрочем, вы про это уже написали.

[provincialka]

Господи, к чему такие сложности?

Joker_vD в сообщении #830195 писал(а):

$f(x,y)=x$ — функция вполне себе от двух переменных

И к тому же непрерывная функция двух переменных. То же касается $\sin \frac 1y$ при $y\ne0$.

[tech]

Всем спасибо.
Раньше я действительно не смотрел на функцию одной переменной как на функцию $n>1$ переменных. Верно ли я понял, что из непрерывности элементарной функций одной переменной следует (доказывается по определению непрерывности), что та же функция непрерывна, если её рассматривать как функцию $n>1$ переменных? Возможно, коряво сформулировал.

[Otta]

А что с нею сделается. Где-то порвется?

[tech]

Otta,
Я немного исправил своё сообщение. Сначала написал не то, что хотел. Но, в общем-то, да, ничего с ней не сделается.