a^2=7^b+7^c+1

[Ktina]

Верно ли, что имеется бесконечно много троек натуральных чисел $(a, b, c)$, для которых выполнено соотношение

$$a^2=7^b+7^c+1\quad\text{?}$$

[mihiv]

Очевидно $a$ нечетно.
Проверив остатки по модулю 8, получим, что $b,c$ разной четности, поэтому $b\ne c$.
Пусть $b>c$. Тогда $a>7^{\frac {b}2}+1$. Следовательно, $7^b+2\cdot 7^{\frac {b}2}+1<7^b+7^c+1.$ Отсюда: $\frac {b}2<c$.
$a^2-1$ делится на $7^c$. Так как НОД $(a-1,a+1)=2$, то $a=7^cm\pm 1$, где число $m$ не делится на 7. Подставляя это выражение для $a$ в исходное равенство, получим после сокращения на $7^c: 7^cm^2\pm 2m-1=7^{b-c}$. Т.к. $b-c<c$, то $\pm 2m-1$ делится на $7^{b-c}$. Сократим обе части последнего равенства на $7^{b-c}$. В правой части равенства получим 1, а в левой - число большее 1. То есть, решений нет.

[Ktina]

mihiv
Спасибо!

[RIP]

mihiv в сообщении #833450 писал(а):

Тогда $a>7^{\frac {b}2}+1$.

А это откуда?

[Руст]

Это верно только в случае четности b. А неравенство $c\le b/2$ верно независимо от четности.
Для решения надо привлечь квадратичные вычеты. Пока я не стану отнимать хлеб. Дам решение, если не появится в течение нескольких дней.

[mihiv]

RIP в сообщении #833659 писал(а):

mihiv в сообщении #833450 писал(а):

Тогда $a>7^{\frac {b}2}+1$.

А это откуда?

Да, понял свою ошибку, это неравенство выполняется только для четных $b$.