2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Окружность и точки
Сообщение15.02.2014, 12:54 


10/05/13
251
На окружности случайно выбираются n точек. Найти вероятность того, что все они принадлежат некоторой полуокружности.
Мое решение свучит так:
Разделим окружность на две полуокружности.
при $n=2$ вероятность равна $1/1$
Так как какие бы две точки на окружности не взять мы можем подогнать под них полуокружность.
Но дальше затрудняюсь, как вывести формулу для n случайных точек?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.02.2014, 12:56 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
frankenstein, создавайте темы в разделе "Помогите решить". Если Вы не нашли кнопку "Создать тему" - поищите - она там есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение16.02.2014, 17:20 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Можно свести эту задачу к задаче о размещении $n$ шаров по $2N$ ящикам, (считаем, что $N$ велико). Подсчитываем число благоприятных исходов, для получения окончательного результата переходим к пределу $N\to \infty $ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 08:46 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Смотрите здесь:http://dxdy.ru/topic54607.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 10:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
frankenstein в сообщении #826768 писал(а):
На окружности случайно выбираются n точек. Найти вероятность того, что все они принадлежат некоторой полуокружности.

Начинать полуокружность может любая из $n$ точек. Остальные $n-1$ штука должны попасть в нужную половину. Поэтому $n/2^{n-1}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 13:50 


17/02/14
25
Россия, ХМАО-Югра, Сургут
Мне кажется все гораздо проще: $p=({\frac12})^n$ для $n>2$, и 1 для $n\leqslant2$. Т.е. совершенно неважно какая полуокружность, можно сначала раскидать точки, затем определить эту полуокружность, и рассчитать с какой вероятностью туда падали точки.
Ну, по крайней мере, при $n\to \infty$, $p\to({\frac12})^n$ то точно.

-- 17.02.2014, 16:05 --

просто как свести ответ к вероятности, что $\int\limits_{x_1}^{x_2}|x_1-x_2|dx\leqslant\pi$ для любых $x_1$ и $x_2$ я затрудняюсь ответить. Величина события в радианах, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 14:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вы во что верите? Если в вычислительный эксперимент - то проведите его. Хоть для $n=3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 18:32 


17/02/14
25
Россия, ХМАО-Югра, Сургут
ИСН в сообщении #827679 писал(а):
Вы во что верите? Если в вычислительный эксперимент - то проведите его. Хоть для $n=3$.

И как Вы предлагаете его провести?

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Написать программу, миллион раз кинуть три точки на окружность и проделать некоторые вычисления, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 19:22 


17/02/14
25
Россия, ХМАО-Югра, Сургут
заморочился, написал. Результат из миллиона экспериментов:
1 = 1000000
2 = 1000000
3 = 749923
4 = 584636
5 = 418571
6 = 279309
7 = 176684
8 = 107658
9 = 63523
10 = 36848
11 = 21139
12 = 11940
13 = 6737
14 = 3761
15 = 2084
16 = 1128
17 = 622
18 = 345
19 = 194
20 = 112
21 = 63
22 = 33
23 = 17
24 = 6
25 = 4
26 = 3
27 = 2
28 = 1
29 = 1
30 = 1

-- 17.02.2014, 21:27 --

принцип работы прост: количество событий на один эксперимент не ограничивал, лишь прекращал эксперимент при отрицательном событии. И запоминал в массиве количество удачных событий для каждого n. При n=3 очевидно $p=\frac34$. Остальные результаты - загадка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну-с, и как цифра для 3 соответствует Вашей формуле?

-- менее минуты назад --

В остальных, я подозреваю, у Вас как-нибудь неправильно сделана проверка. Да чёрт с ними, с остальными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 19:40 


17/02/14
25
Россия, ХМАО-Югра, Сургут
Я и не отрицаю, что моя формула не верна. В проге все перепроверил, нормально все.
Но и на форуме, пока не вижу правильного решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Запустите, пожалуйста, прогу ещё раз для $n=4$.

-- менее минуты назад --

(в смысле, ещё миллион)

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 19:47 


17/02/14
25
Россия, ХМАО-Югра, Сургут
Еще раз все результаты другие миллион экспериментов
1 = 1000000
2 = 1000000
3 = 749959
4 = 584759
5 = 418374
6 = 279077
7 = 176604
8 = 108009
9 = 64159
10 = 37170
11 = 21139
12 = 11983
13 = 6606
14 = 3631
15 = 1974
16 = 1054
17 = 556
18 = 309
19 = 168
20 = 94
21 = 47
22 = 31
23 = 18
24 = 11
25 = 7
26 = 4
27 = 1

-- 17.02.2014, 21:50 --

здесь, мне кажется, не все так просто, ведь вероятность каждого события зависит от угла образованного, прошлыми событиями.

-- 17.02.2014, 21:54 --

Т.е. угла, образованного максимально стоящих друг от друга точек, чем он острее тем больше поля для маневров для следующего удачного события.

 Профиль  
                  
 
 Re: Окружность и точки
Сообщение17.02.2014, 20:01 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
AlexeySurgut в сообщении #827800 писал(а):
Но и на форуме, пока не вижу правильного решения.

У Вас очень редкая форма избирательной слепоты

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group