Задача из сборника Чешева

[dovlato]

Задача 3.9 из Методич. пособия (Чешев, 2013).
Положительно заряженная частица пролетает через 3 плоские параллельные металлические сетки.
Расстояние между 1й и 2й сеткой, как и расстояние между 2й и 3й сеткой, равно d.
Потенциал 2й сетки относительно 1й равен $U_1>0.$
Потенциал 3й сетки относительно 1й равен $U_2>0\quad (U_1>U_2).$
Вопрос: "На каком расстоянии х от 1й сетки скорость частицы будет равна скорости, которую она имела вдали от сеток?
Расстояние d много меньше размеров сеток".
Не понимаю .
Во первых, скорости частицы до влёта в пространство между 1й и 3й сетками, и после вылета из него - очевидно(?) различные, т.к.
при пролёте она испытывает торможение со стороны эл. поля. Хорошо, определим хотя бы тот х, при котором скорость частицы между 1й и 2й сетками
будет такой же, как и после пролёта всех трёх сеток.
Напряжённость поля между 1й и 2й сетками равна $E_1=U_1/d$
Очевидно(?), что вне пространства внутри сеток поля нет.
Тогда найдём тот х, при котором потенциал относительно 1й сетки будет равен $U_2.$
Так как $E_1x=U_2$, то $x=U_2/E_1=d\frac{U_2}{U_1}.$
Однако в ответе указана вдвое меньшая величина!
В чём я ошибаюсь?
Кстати, и в подобной задаче 3.11 тоже расхождение с ответом.. Не понимаю.

[zer0]

Похоже, что-то в условии или ответе неверно. Пусть U2=U1, т.е пролетев 2-ю сетку частица летит свободно. Получается, что x=d, а не d/2

[dovlato]

zero0: xороший контраргумент.

[AlexK]

Недавно столкнулся с данной задачей. Решения я не знаю (но очень хочу узнать), однако скорее всего утверждение

dovlato в сообщении #826397 писал(а):

Очевидно(?), что вне пространства внутри сеток поля нет

не верно и вне пространства внутри сеток поле есть, т.к. расстояние d много меньше лишь площади сеток. Т.е. вблизи сеток мы считаем поле однородным, а вдали от сеток система превращается в некое подобие диполя, только из трех точек.

[dovlato]

Спасибо.

[Утундрий]

Тут я бы предпочёл скриншот. По одному напеву место опечатки не восстанавливается.

[EUgeneUS]

(del)

Посмотрел оригинал. Там сказано, что разность потенциалов поддерживается источниками ЭДС.
Отсюда можно считать полный заряд системы равным нулю.

[EUgeneUS]

zer0 в сообщении #826434 писал(а):

Похоже, что-то в условии или ответе неверно. Пусть U2=U1, т.е пролетев 2-ю сетку частица летит свободно. Получается, что x=d, а не d/2

Нет. Если смотреть на систему "издалека", то это что-то типа диполя с нулевым суммарным зарядом. Не удивительно, что нулевой потенциал (относительно бесконечности) будет достигаться между пластинами, а не на какой-то из пластин.

AlexK в сообщении #1477510 писал(а):

Т.е. вблизи сеток мы считаем поле однородным, а вдали от сеток система превращается в некое подобие диполя, только из трех точек

Да, что-то подобное, похоже, предполагалось автором.

1. Из-за того, что суммарный заряд ноль, поля во внешних областях недалеко от пластин нет. А если "далеко", то мы имеем диполь.
2. Из соображений симметрии (поле диполя симметрично), и того, что вблизи пластин снаружи поля нет, делаем вывод, что внешние пластины (1 и 3-я) относительно бесконечности находятся под одинаковым по модулю и противоположным по знаку потенциалом ($-\varphi_0$ и $\varphi_0$, соответственно).
3. Сразу $2 \varphi_0 = U_2$
4. Потенциал в промежутке между первой и второй пластинами:
$\varphi(x) = -\varphi_0 + \frac{U_1 x}{d}$
5. Нам нужно найти точку, где он ноль.
$\varphi(x) = -\frac{U_2}{2} + \frac{U_1 x}{d}=0$
6. И получаем авторский ответ:
$x = \frac{d U_2}{2 U_1}$

[EUgeneUS]

Некоторые комментарии.
1. Вполне очевидно, что основной вопрос задачи - это нахождение разницы потенциалов между бесконечно удаленной точкой и какой-нибудь из пластин. Далее - тривиально.
2. Пластины нельзя рассматривать, как бесконечные.
а) тогда это приводит к парадоксу - потенциал бесконечно удаленной точки будет разным, в зависимости от того, с какой пластины к ней движемся.
б) в условиях задачи и не утверждается, что они бесконечные
3. Соображения, приведенные выше в пункте 2, хотя и приводят к авторскому ответу, не представляются мне достаточными.

Интересно, можно ли их сформулировать более строго? Или, напротив привести контр-пример (тогда задача и-или приведенный ответ оказывается некорректной).

[Ignatovich]

Контрпример. Три однородно заряженных одинаковых соосных диска. Пусть их суммарный заряд равен нулю. Потенциал на оси симметрии системы легко вычисляется. Нетрудно убедиться, что потенциалы точек, принадлежащих крайним дискам отличаются не только знаком.

[EUgeneUS]

Ignatovich в сообщении #1477696 писал(а):

Нетрудно убедиться, что потенциалы точек, принадлежащих крайним дискам отличаются не только знаком.

так-то оно так.
Но с учётом $d \ll R$ оказывается, что $\varphi_1 \approx -\varphi_3$, при условии $\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3 = 0$, то есть при нулевом суммарном заряде.
То есть это не контрпример, а подтверждение.

[Ignatovich]

EUgeneUS в сообщении #1477625 писал(а):

2. Из соображений симметрии (поле диполя симметрично), и того, что вблизи пластин снаружи поля нет, делаем вывод, что внешние пластины (1 и 3-я) относительно бесконечности находятся под одинаковым по модулю и противоположным по знаку потенциалом ($-\varphi_0$ и $\varphi_0$, соответственно).

И теперь понятно, что аргументация должна принимать во внимание условие d<<R

[AlexK]

Вроде решил, постарался расписать максимально подробно. Ссылка ведет на документ с моим решением.
https://www.mathcha.io/editor/nlmqmS7QSeWtQ2BYEESyJz6ENirllN4XSLZQ5m

[lastdayofsummer]

Ссылка недоступна, можете скинуть повторно?

-- 03.06.2022, 14:54 --

Ссылка недоступна, можете скинуть повторно?

[AlexK]

Ссылка снова работает:
https://www.mathcha.io/editor/nlmqmS7QSeWtQ2BYEESyJz6ENirllN4XSLZQ5m
Однако сейчас в том, что решение абсолютно правильно, я не уверен. Кажется, когда-то мне говорили о каких-то вычислительных ошибках, и вроде я ничего не правил. Но именно с идеями там все хорошо, так что посмотреть все равно можно)