Пространства,размерность,базис

[svv]

Нет, базисом пересечения будет один вектор
$\begin{bmatrix}2\\3\\1\\1\end{bmatrix}$

Хочу, чтобы появление непонятно откуда вектора, которого не было в Вашем сообщении, Вас сначала немножко ошарашило, но потом чтобы Вы догадались.

Таки Вы не совсем поняли процедуру.

[MestnyBomzh]

svv, так, я кажется изначально не понял) Пересечение пространств - это такие вектора, что каждый из них может быть выражен через векторы первого и второго пространств по отдельности?

[ИСН]

У Вас пропущено слово "базисные". Без него вся фраза не делает смысла. Каждый из векторов пересечения не только "может быть выражен" - он сам уже и есть вектор первого пространства. И второго тоже.

[MestnyBomzh]

Почему мы тогда решаем такое уравнение:

$$ $\alpha_1\begin{bmatrix}-1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}+\alpha_2\begin{bmatrix}0\\-3\\7\\-4\end{bmatrix}+\beta_1\begin{bmatrix}-1\\-4\\11\\-4\end{bmatrix}+\beta_2\begin{bmatrix}0\\3\\-7\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$$

, а не

$$\alpha_1\begin{bmatrix}-1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}+\alpha_2\begin{bmatrix}0\\-3\\7\\-4\end{bmatrix}=\beta_1\begin{bmatrix}-1\\-4\\11\\-4\end{bmatrix}+\beta_2\begin{bmatrix}0\\3\\-7\\2\end{bmatrix}$$

[Joker_vD]

MestnyBomzh
Сядьте на стуле/в кресле поудобнее, и разглядывайте эти два уравнения, пока не поймете, что это одно и то же уравнение.

[MestnyBomzh]

Joker_vD в сообщении #824675 писал(а):

Сядьте на стуле/в кресле поудобнее, и разглядывайте эти два уравнения, пока не поймете, что это одно и то же уравнение.

, да, вы правы, при перенесении в правую часть и умножении на минус один получается то же самое.

svv в сообщении #824581 писал(а):

Нет, базисом пересечения будет один вектор
$\begin{bmatrix}2\\3\\1\\1\end{bmatrix}$

Хочу, чтобы появление непонятно откуда вектора, которого не было в Вашем сообщении, Вас сначала немножко ошарашило, но потом чтобы Вы догадались.

Таки Вы не совсем поняли процедуру.

Да, получилось, хотя пришлось убить достаточно времени, зато, наконец-то, въехал в смысл!)

-- 10.02.2014, 02:04 --

А для суммы пространств составим матрицу, состаящую из векторов $L_1$ и $L_2$:

$$\begin{pmatrix} -1& -1& 4 &0 \\ 0& -3& 7& -4\\ -2& 1& 1& 4\\ -1& 5& -10 &8 \\ -3& 0& 5& -4\\ -1& -4& 11& -4\\ -5& 4& -1& -4\\ -1& 8& -17& 4\\ \end{pmatrix}$$

Приведем её к ступенчатому виду:

$$\begin{pmatrix} -1& -1& 4 &0 \\ 0& -3& 7& -4\\ 0& 0& 0& -8\\ 0& 0& 0 &0 \\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{pmatrix}$$

Значит размерность равна трем, а базисными будут вектора

$$\begin{bmatrix}-1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\-3\\7\\-4\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\0\\-8\end{bmatrix}$$

?

[MestnyBomzh]

С суммой разобрался: базисными могут быть наборы $a_1,a_2,b_1$; $a_1,a_2,b_3$; $a_1,a_2,b_4$

[svv]

В таких задачах обычно требуют найти такие системы векторов $\langle p_k\rangle, \langle q_k\rangle,\langle r_k\rangle$, чтобы
базисом $L_1\cap L_2$ была система $\langle p_k\rangle$
базисом $L_1$ было объединение $\langle p_k\rangle$ и $\langle q_k\rangle$
базисом $L_2$ было объединение $\langle p_k\rangle$ и $\langle r_k\rangle$

Добиться этого несложно. Мы нашли
базис $L_1\cap L_2$: $\langle c_1\rangle=\langle(-1,-4,11,-4)\rangle$
базис $L_1$: $\langle a_1,a_2\rangle=\langle (-1,-1,4,0), (0,-3,7,-4) \rangle$
базис $L_2$: $\langle b_1,b_2\rangle=\langle (-1,-4,11,-4),(0,3,-7,2)\rangle$
Но представить их в виде объединений трех систем, как описано выше, пока нельзя.

Вспомним: с базисом можно проделывать две основные операции, которые сохраняют его «базисность» для того же подпространства:
$\bullet$ любой вектор можно умножить на ненулевое число;
$\bullet$ к любому вектору можно прибавить линейную комбинацию остальных векторов.

Прибавляя к вектору $a_1$ вектор $a_2$, получим новый базис $L_1$:
$\langle a_1+a_2,a_2\rangle=\langle c_1,a_2\rangle$
Конечно, действие было выбрано исходя из того, что $c_1=a_1+a_2$.
А с базисом $L_2$ и этого не надо — только заметить, что $b_1=c_1$.
Поэтому базис $L_2$: $\langle c_1,b_2\rangle$

Значит, вот те три системы:
$\langle p_1\rangle=\langle c_1\rangle=\langle (-1,-4,11,-4)\rangle$
$\langle q_1\rangle=\langle a_2\rangle=\langle (0,-3,7,-4)\rangle$
$\langle r_1\rangle=\langle b_2\rangle=\langle (0,3,-7,2)\rangle$
Объединение $\langle p_1\rangle$ и $\langle q_1\rangle$ — базис $L_1$.
Объединение $\langle p_1\rangle$ и $\langle r_1\rangle$ — базис $L_2$.

А, если подумать, объединение всех трех систем — базис чего?

[MestnyBomzh]

В голову лезет только базис их объединения...

[svv]

Да. Лучше сказать — базис суммы подпространств $L_1$ и $L_2$. (Это множество всех векторов, равных сумме вектора из $L_1$ и вектора из $L_2$.)
Я показал, как можно найти этот базис, не особенно напрягаясь.

Ваш базис, конечно, тоже правильный, он задает то же подпространство $L_1+L_2$.