Пространства,размерность,базис

[patzer2097]

Joker_vD в сообщении #823225 писал(а):

Надо просто задать подпространства $L_1$, $L_2$ как решения СЛАУ — после чего объединить эти две СЛАУ в одну большую и найти базис подпространства ее решений.

да, Вы правы. так, наверное, проще всего сформулировать.

[MestnyBomzh]

Тогда так:
Для $L_1$
Возьмем матрицу

$$\begin{pmatrix} -1& -1& 4 &0 \\ 0& -3& 7& -4\\ -2& 1& 1& 4\\ -1& 5& -10&8 \end{pmatrix}$$

Приведем ее к ступенчатому виду:

$$\begin{pmatrix} -1& -1& 4 &0 \\ 0& -3& 7& -4\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0&0 \end{pmatrix}$$

Получили СЛАУ:

$$\left\{\begin{matrix} -x_1-x_2+4x_3=0 \\ -3x_2+7x_3-4x_4=0 & \end{matrix}\right.$$

По аналогии для $L_2$ получим такую систему:

$$\left\{\begin{matrix} -3x_1+5x_3-4x_4=0 \\ -4x_2+9x_3-2x_4=0 &\\ x_4=0& \end{matrix}\right.$$

Объединяем их:

$$\left\{\begin{matrix} -x_1-x_2+4x_3=0 \\ -3x_2+7x_3-4x_4=0 \\ -3x_1+5x_3=0 \\ -4x_2+9x_3=0 \\ x_4=0& \end{matrix}\right.$$

Решем и получаем:

$$\left\{\begin{matrix} x_2=0\\ x_3=0\\ x_1=0\\ x_4=0& \end{matrix}\right.$$

Верно? Точнее, конечно неверное, а как верно?

[svv]

Теперь соберите векторы обоих базисов вместе и, записав их в виде столбцов, составьте и решите однородную систему:

$$\begin{bmatrix}-1&0&-3&*\\-1&-3&0&*\\4&7&5&*\\0&-4&-4&*\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \beta_1\\ \beta_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$$

Звездочками обозначены компоненты второго базисного вектора $L_2$. Он у меня получился не такой, как у Вас. Проверьте, пожалуйста.

Обоснование: post796601.html#p796601

[mihailm]

MestnyBomzh в сообщении #823402 писал(а):

Тогда так:
Для $L_1$...

Значит ищем объединение (точнее его базис)
Ищем так - находим вектора ортогональные ко всем 8 векторам
Для этого выписываем матрицу 8 на 4 (в строке - координаты)
Ищете решение однородной СЛАУ
Получается по вашему (проверьте) решение только нулевое
Значит объединение все четырехмерное пространство

Далее пересечение.
Для этого выписываем 2 матрицы 4 на 4 (в строках также координаты)
Решайте соответствующие однородные СЛАУ (2 штуки)

[MestnyBomzh]

svv, про $L_2$: берем матрицу

$$\begin{pmatrix} -1 &-4 &11 &-4 \\ -3 &0 &5 &-4 \\ -5&4 &-1 &-4 \\ -1 &8 &-17 &4 \end{pmatrix}$$

, приводим к ступенчатому виду:

$$\begin{pmatrix} -1 &-4 &11 &-4 \\ 0 &12 &-28 &8 \\ 0&0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \end{pmatrix}$$

Запишем СЛАУ:

$$\left\{\begin{matrix} -x_1-4x_2+11x_3-4x_4=0 \\ 12x_2-28x_3+8x_4=0 & \end{matrix}\right.$$

Теперь составим однородную систему:

$$\begin{bmatrix} -1& 0& -1& 0 \\ -1& -3& -4& 12\\ 4& 7& 11& -28\\ 0& -4& -4& 8 & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \alpha _2\\ \beta _1\\ \beta _2\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$$

(А ее же можно записать строками, а не столбцами? Ведь суть не поменяется)
Так ведь?

[svv]

Систему Вы записали правильно.
Небольшое замечание: имеет смысл (до составления системы) разделить последний вектор на $4$, с меньшими числами легче управляться.
$\begin{bmatrix} -1& 0& -1& 0 \\ -1& -3& -4& 3\\ 4& 7& 11& -7\\ 0& -4& -4& 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha_1\\ \alpha _2\\ \beta _1\\ \beta _2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}$
Эта система имеет совсем простое множество решений.

А вот записывать векторы-столбцы в данной системе в строку никак нельзя. Неизвестные $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ имеют смысл коэффициентов при векторах в линейной комбинации:
$\alpha_1\begin{bmatrix}-1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}+\alpha_2\begin{bmatrix}0\\-3\\7\\-4\end{bmatrix}+\beta_1\begin{bmatrix}-1\\-4\\11\\-4\end{bmatrix}+\beta_2\begin{bmatrix}0\\3\\-7\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$
Если же транспонировать матрицу, коэффициент $\alpha_1$ будет умножаться уже не на первый вектор-столбец в этой системе векторов, а на непонятно что, составленное из первых компонент всех векторов ( ).

[MestnyBomzh]

svv

svv в сообщении #823598 писал(а):

А вот записывать векторы-столбцы в данной системе в строку никак нельзя. Неизвестные $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2$ имеют смысл коэффициентов при векторах в линейной комбинации:

Конечно же, в данном случае, я имел в виду, что можно ли записать и матрицу, и коэффициенты строками. Но я уже вижу, что умножить нельзя будет.

svv в сообщении #823598 писал(а):

$\alpha_1\begin{bmatrix}-1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}+\alpha_2\begin{bmatrix}0\\-3\\7\\-4\end{bmatrix}+\beta_1\begin{bmatrix}-1\\-4\\11\\-4\end{bmatrix}+\beta_2\begin{bmatrix}0\\3\\-7\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$

Получается, что будет одно решение (хотя может, там будет и бескончено, но в общем случае одно), то есть их пересечение имеет в общем случае только один вектор??

[svv]

Да, здесь одномерное бесконечное множество решений.
Понятно, что если $(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2)$ решение, то $(k\alpha_1, k\alpha_2, k\beta_1, k\beta_2)$ тоже решение.
Вы нашли его?

[MestnyBomzh]

svv
Да:

$$\begin{bmatrix} -C\\ -C\\ C\\ 0& \end{bmatrix}$$

, $C \in \mathbb{R}$ А базис множества решений тогда будет:

$$\begin{bmatrix} -1\\ -1\\ 1\\ 0& \end{bmatrix}$$

?

[svv]

Для дальнейшего удобно умножить все найденные $\alpha$ и $\beta$ на $-1$ (пользуясь свойством из моего предыдущего сообщения). Получим:
$\alpha_1=1\quad \alpha_2=1\quad\beta_1=-1\quad\beta_2=0$

Теперь подставим эти значения в формулу
$\alpha_1\begin{bmatrix}-1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}+\alpha_2\begin{bmatrix}0\\-3\\7\\-4\end{bmatrix}+\beta_1\begin{bmatrix}-1\\-4\\11\\-4\end{bmatrix}+\beta_2\begin{bmatrix}0\\3\\-7\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}$
и перенесем всё, что с $\beta$, в правую часть. Получим:
$\begin{bmatrix}-1\\-1\\4\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\-3\\7\\-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\-4\\11\\-4\end{bmatrix}$
И это верно!

Но левая часть построена из базисных векторов $L_1$, правая из базисных векторов $L_2$. Значит?

[MestnyBomzh]

Значит мы нашли линейную комбинацию... То есть нашли такие коэффициенты, на которые, умножив базис $L_1$, и сложив, получим первый вектор из базиса $L_2$. А второй, видимо, получить не сможем (таким же образом), раз получился ноль. Значит их пересечение - только первый вектор базиса $L_2$? Но тогда возникает вопрос про два вектора из $L_1$... Видимо, они не будут пересечением, так как мы их не сможем выразить через линейную комбинацию базисных векторов $L_2$, не зря же ноль тут выскочил.

[svv]

Здесь Вас не должно сбивать с толку то, что в результате получился в точности вектор из базиса $L_2$.
В более общем случае некоторая линейная комбинация базисных векторов $L_1$ равна некоторой линейной комбинации базисных векторов $L_2$.
Очевидно, что в таком случае вектор, которому они равны, лежит в пересечении $L_1$ и $L_2$. Так как вектор найден с точностью до множителя, пересечением является множество векторов вида $c(-1,-4,11,-4)$. Сам же найденный вектор — базис $L_1\cap L_2$. Лишь по чистой случайности он совпал с базисным вектором $L_2$. Это ясно уже из того, что выбор базиса неоднозначен.

Далее, при других условиях задачи однородное уравнение могло иметь двух-(или более)-параметрическое множество решений, образующих двумерное (или более) пространство. Общее решение того уравнения с альфами и бетами выглядело бы, например, так: $\lambda_1 c_1+ \lambda_2 c_2$, где $\lambda_1,\lambda_2$ — коэффициенты. В таком случае пересечение $L_1$ и $L_2$ будет множеством векторов такого вида, а векторы $c_1$ и $c_2$ будут базисом пересечения.

[MestnyBomzh]

svv в сообщении #824137 писал(а):

В более общем случае некоторая линейная комбинация базисных векторов $L_1$ равна некоторой линейной комбинации базисных векторов $L_2$

Но здесь так подобраны коэффициенты, чтобы у нас оказалось довольно просто решение. Что ж, спасибо вам!

[svv]

Ну, и достаточно было бы при поиске базиса $L_2$ вместо $(-1,-4,11,-4)$ взять, например, сумму этого вектора с другим базисным $(0,3,-7,2)$, что дало бы $(-1, -1, 4, -2)$, и никаких настораживающих совпадений уже не было бы.

В то же время система двух векторов $(-1, -1, 4, -2)$ и $(0,3,-7,2)$ порождает то же подпространство $L_2$, и такая замена базиса никак не повлияет на пересечение $L_1$ и $L_2$, которое будет по-прежнему множеством векторов вида $c(-1,-4,11,-4)$.

[MestnyBomzh]

svv, у меня в другом номере получилось

$$\alpha_1 \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}+\alpha_2 \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}+\beta_1 \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}+\beta_2 \begin{bmatrix} 0\\ -3\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} $$

, решая, получаю базисное решение:

$$\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ -1\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} $$

. Тогда получаем равенство:

$$2 \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}-1 \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 0\\ -3\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}$$

. Тогда базисом их пересечения будут вектора

$$2 \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$$

и

$$-\begin{bmatrix} 0\\ -3\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}$$

?