2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 21:57 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Уважаемые мастера форума, объясните, пожалуйста, как правильно скалярно умножать в ортогональных недекартовых координатах. Трудность вот в чем: формулу я знаю :

$$ \overline{a}\overline{b} =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a^{i}b^{j}g_{ij}=\sum\limits_{i=1}^{n}a^{i}b^{i}g_{ii},$$
но не могу применить. Предположим, заданы 2 вектора в сферической системе координат: $a=(1,0,0), b=(1,0,\pi /2)$. Они, очевидно, ортогональны. Но скалярное произведение говорит другое, по формуле, $\overline{a}\overline{b}=1$. Подскажите, что я делаю не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:02 


19/05/10

3940
Россия
эт точки, ортогональные точки? очевидно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:03 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
А в таких координатах точки и векторы не отождествляются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:06 


19/05/10

3940
Россия
Нет
Ну попробуйте их хотя бы поскладывать

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:09 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Хорошо, а как тогда записывать вектор, у которого начало -- центр системы координат, а конец -- точка $(r, \varphi, \psi)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
В каждой точке возникает касательно трехмерное пространство, в нем и выполняется ортогональность. А не в самом многообразии.

-- 29.01.2014, 23:13 --

cool.phenon в сообщении #820487 писал(а):
Хорошо, а как тогда записывать вектор, у которого начало -- центр системы координат, а конец -- точка (r, \varphi, \psi) ?
Векторы бывают в линейных (векторных) пространствах. Криволинейные координаты портят эту структуру, превращают в более сложную. В многообразие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:15 
Заблокирован
Аватара пользователя


29/01/13

217
Цитата:
Они, очевидно, ортогональны...
...в декартовых координатах.

В ДПСК два вектора умножаются следующим образом (например в трехмере):

$\vec{a}\vec{b}=(a_1,a_2,a_3)E(b_1,b_2,b_3)^T$

а в криволинейных координатах будет вместо единичной матрицы ваша $G$, элементы которой и стоят в сумме

cool.phenon в сообщении #820478 писал(а):
$$ \overline{a}\overline{b} =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a^{i}b^{j}g_{ij}=\sum\limits_{i=1}^{n}a^{i}b^{i}g_{ii},$$
.

Если умеете перемножать матрицы, то должны и уметь сумму такую сосчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:16 


19/05/10

3940
Россия
cool.phenon в сообщении #820487 писал(а):
Хорошо, а как тогда...

Это типа многообразие, там вектора (и векторные пространства) в других местах возникают

(Оффтоп)

Вобще пусть дифгемщики в этом месте вам мозги парят

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Я уже попробовала "парить", правда, я сильно "бывший" геометр. cool.phenon, а откуда задача? Из чистого любопытства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:25 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Суть проблемы в том, что мне нужно выписывать $(\nabla a, n)$, где $n$ -- нормаль к некоторой плоскости. Координаты градиента в сферических координатах известны, осталось найти координаты $n$. Подскажите, как я могу это сделать?

provincialka
Это из вычислительной гидродинамики, можно так сказать, но с некоторым
упрощением

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
cool.phenon
Так перепишите градиент в декартовых и все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:35 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
ex-math
То есть, вместо координат градиента $(r, \varphi, \psi)$ пишем $(r \cos \varphi \sin \psi; ...)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Ну да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
cool.phenon в сообщении #820504 писал(а):
Координаты градиента в сферических координатах известны
Это не очень понятно. Куда приложена эта система координат, где ее ноль? Градиент - это вектор, и в аффинном пространстве его можно свободно перенести в любую точку. Но в криволинейных координатах это не так! Вектор, фактически, лежит в касательном пространстве, а в другой точке и пространство другое.
Для сравнения возьмите плоский вариант, сферу (т.е. $r$ - константа). В какой-то точке вы "выпускаете" вектор. Он лежит в касательной плоскости. Как вы его передвинете в другую точку сферы? Там же касательная плоскость совершенно другая!

 Профиль  
                  
 
 Re: Скалярное произведение в ортогональных координатах
Сообщение29.01.2014, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
provincialka
Как я понял, вместо декартовых координат вектор задан модулем и углами, которые он образует с осью $z$ и его проекция на плоскость $xy$ образует с осью $x$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group