Скалярное произведение в ортогональных координатах

[cool.phenon]

Уважаемые мастера форума, объясните, пожалуйста, как правильно скалярно умножать в ортогональных недекартовых координатах. Трудность вот в чем: формулу я знаю :

$$ \overline{a}\overline{b} =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a^{i}b^{j}g_{ij}=\sum\limits_{i=1}^{n}a^{i}b^{i}g_{ii},$$

но не могу применить. Предположим, заданы 2 вектора в сферической системе координат: $a=(1,0,0), b=(1,0,\pi /2)$. Они, очевидно, ортогональны. Но скалярное произведение говорит другое, по формуле, $\overline{a}\overline{b}=1$. Подскажите, что я делаю не так?

[mihailm]

эт точки, ортогональные точки? очевидно?

[cool.phenon]

А в таких координатах точки и векторы не отождествляются?

[mihailm]

Нет
Ну попробуйте их хотя бы поскладывать

[cool.phenon]

Хорошо, а как тогда записывать вектор, у которого начало -- центр системы координат, а конец -- точка $(r, \varphi, \psi)$ ?

[provincialka]

В каждой точке возникает касательно трехмерное пространство, в нем и выполняется ортогональность. А не в самом многообразии.

-- 29.01.2014, 23:13 --

cool.phenon в сообщении #820487 писал(а):

Хорошо, а как тогда записывать вектор, у которого начало -- центр системы координат, а конец -- точка (r, \varphi, \psi) ?

Векторы бывают в линейных (векторных) пространствах. Криволинейные координаты портят эту структуру, превращают в более сложную. В многообразие.

[exitone]

Цитата:

Они, очевидно, ортогональны...

...в декартовых координатах.

В ДПСК два вектора умножаются следующим образом (например в трехмере):

$\vec{a}\vec{b}=(a_1,a_2,a_3)E(b_1,b_2,b_3)^T$

а в криволинейных координатах будет вместо единичной матрицы ваша $G$, элементы которой и стоят в сумме

cool.phenon в сообщении #820478 писал(а):

$$ \overline{a}\overline{b} =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a^{i}b^{j}g_{ij}=\sum\limits_{i=1}^{n}a^{i}b^{i}g_{ii},$$

.

Если умеете перемножать матрицы, то должны и уметь сумму такую сосчитать.

[mihailm]

cool.phenon в сообщении #820487 писал(а):

Хорошо, а как тогда...

Это типа многообразие, там вектора (и векторные пространства) в других местах возникают

(Оффтоп)

Вобще пусть дифгемщики в этом месте вам мозги парят

[provincialka]

Я уже попробовала "парить", правда, я сильно "бывший" геометр. cool.phenon, а откуда задача? Из чистого любопытства?

[cool.phenon]

Суть проблемы в том, что мне нужно выписывать $(\nabla a, n)$, где $n$ -- нормаль к некоторой плоскости. Координаты градиента в сферических координатах известны, осталось найти координаты $n$. Подскажите, как я могу это сделать?

provincialka
Это из вычислительной гидродинамики, можно так сказать, но с некоторым
упрощением

[ex-math]

cool.phenon
Так перепишите градиент в декартовых и все.

[cool.phenon]

ex-math
То есть, вместо координат градиента $(r, \varphi, \psi)$ пишем $(r \cos \varphi \sin \psi; ...)$?

[ex-math]

Ну да.

[provincialka]

cool.phenon в сообщении #820504 писал(а):

Координаты градиента в сферических координатах известны

Это не очень понятно. Куда приложена эта система координат, где ее ноль? Градиент - это вектор, и в аффинном пространстве его можно свободно перенести в любую точку. Но в криволинейных координатах это не так! Вектор, фактически, лежит в касательном пространстве, а в другой точке и пространство другое.
Для сравнения возьмите плоский вариант, сферу (т.е. $r$ - константа). В какой-то точке вы "выпускаете" вектор. Он лежит в касательной плоскости. Как вы его передвинете в другую точку сферы? Там же касательная плоскость совершенно другая!

[ex-math]

provincialka
Как я понял, вместо декартовых координат вектор задан модулем и углами, которые он образует с осью $z$ и его проекция на плоскость $xy$ образует с осью $x$.