Целая часть суммы

[DjD USB]

Вычислить сумму:

$$S=[ \sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2}+...+\sqrt{n^2+2n}]$$

,
n- натуральное.

(Оффтоп)

Попытка решения:
Вычисляя первые 5 значений $n$ и используя оценку $

$$2n^2<S<2(n+1)^2$$

я ''угадал'' чему равна эта сумма, а именно $S=n(2n+1)$.
Теперь начал доказывать по индукции, но не понимаю какой переход мне делать: $2n\to 2n+1$,тогда $n\to n+0.5$, или $n\to n+1$

[Sonic86]

Могу предложить воспользоваться матаном - разложить корни в знакочередующийся ряд и просуммировать несколько слагаемых, остальное отбросить, предварительно оценив. Немного длинно, но сработает.

[DjD USB]

Sonic86 в сообщении #819694 писал(а):

Могу предложить воспользоваться матаном - разложить корни в знакочередующийся ряд и просуммировать несколько слагаемых, остальное отбросить, предварительно оценив. Немного длинно, но сработает.

Такого я не умею делать.
А что на счет моей идеи?
По индукции если делать переход левой стороны, то получим:

$$S_{2n+1}=[S_{2n}+(n+1)]=[S_{2n}]+n+1$$

А вот не понятно, что делать с правой частью...

[Sonic86]

DjD USB в сообщении #819695 писал(а):

А что на счет моей идеи?

Я не понимаю вопрос:

DjD USB в сообщении #819678 писал(а):

какой переход мне делать: $2n\to 2n+1$,тогда $n\to n+0.5$, или $n\to n+1$

где Вы видели индукционный переход 1-го вида? (смысл такой: формулируйте четко и полно и проблем не будет)

Еще можно: вытащить $2n^2$ (или даже сразу $2n^2+n$) из под целой части и разности корней превратить в суммы корней в знаменателе: $\sqrt{A+1}-\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{A+1}+\sqrt{A}}$.

[Shadow]

Еще поможет (если разрешено, конечно) интеграл.

$$\displaystyle\int\limits_{n^2}^{(n+1)^2}\sqrt x dx$$

[provincialka]

По-моему, идея Sonic86 самая лучшая. Вот эта:

Sonic86 в сообщении #819697 писал(а):

и разности корней превратить в суммы корней в знаменателе: $\sqrt{A+1}-\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{A+1}+\sqrt{A}}$.

DjD USB, заметьте, что каждое слагаемое - чуть больше $n$. Вот и посмотрите, насколько.
,

[DjD USB]

provincialka в сообщении #820143 писал(а):

По-моему, идея Sonic86 самая лучшая. Вот эта:

Sonic86 в сообщении #819697 писал(а):

и разности корней превратить в суммы корней в знаменателе: $\sqrt{A+1}-\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{A+1}+\sqrt{A}}$.

DjD USB, заметьте, что каждое слагаемое - чуть больше $n$. Вот и посмотрите, насколько.
,

Спасибо, буду думать.

[Shadow]

Действительно, я ошибся. Оценка
$2n^2+n-\frac 1 3<S<2n^2+n+\frac 2 3$ недостаточно прецизная, чтобы однозначно определить $[S]$

[mihiv]

Если интеграл аппроксимировать вписанными и описанными трапециями, то получается оценка:

$$2n^2+n+\frac 16-\frac 1{4n}< S <2n^2+n+\frac 16$$

[Shadow]

Подходит еще такая оценка при $a\le 2n$

$n+\dfrac{2a-1}{4n}<\sqrt{n^2+a}<n+\dfrac{a}{2n}$

-- 30.01.2014, 18:28 --

Нет, первая оценка не верна
Да что это такое

[provincialka]

У меня вроде получилось решение, но не знаю, можно ли уже его публиковать. Покажу начало: Каждое слагаемое лежит в пределах от $n$ до $n+1$ не включительно.

Каждое слагаемое можно представить в виде $\sqrt{n^2+k}$ либо в виде $\sqrt{(n+1)^2-k}$. В обоих случаях $k$ меняется от $1$ до $2n$.

1. Оценка сверху. $\sqrt{n^2+k}-n=\dfrac{k}{\sqrt{n^2+k}+n} <\frac{k}{2n}$. Суммируем по $k$ от $1$ до $2n$.
2. Оценка снизу. $n+1-\sqrt{(n+1)^2-k}=\dfrac{k}{\sqrt{(n+1)^2-k}+n+1} <\frac{k}{2n+1}$. Суммируем по $k$ от $1$ до $2n$

[Shadow]

provincialka в сообщении #820867 писал(а):

Покажу начало

Мне кажется, что показали конец. Sonic86 на эту тему наводил и действительно оно короткое. Меня бесит то, что верхная оценка получается очень легко, а с нийжей проблемы. Кажется, совсем просто не получися. Хотел попроще, но не получилось. Вот что получилось - попарные суммы:

$\sqrt{n^2+x}+\sqrt{(n+1)^2-x}>2n+1$

Функция возрастающая на $[0;n]$

[provincialka]

Shadow, а возрастание проверяли с помощью производной? Можно обойтись и без нее.
Впрочем, пусть решение принимает автор темы.

[Shadow]

Ну, производная совсем не страшная и то, что она положительна сразу следует из $n^2+x<(n+1)^2-x$.
Но я не предлагаю это в качестве решения. Притянутое за уши. Оценки снизу и сверу доказытать разными способами не красиво.
Вы написали хорошее решение.

[ex-math]

(Оффтоп)

Shadow
Ну почему же некрасиво? Как правило, получить оценку сверху и снизу -- это две принципиально разные задачи. Правда, здесь действительно не тот случай.
И еще. Приятно смотреть на изящный трюк. Но чтобы отловить достаточно тонкие эффекты, все же приходится проводить кропотливый и несколько занудный анализ. Такова жизнь.