2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Целая часть суммы
Сообщение31.01.2014, 10:03 
Проще всего тупо по Тейлору:

$\sqrt{n^2+k}=n\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}=n\big(1+\frac{k}{2n^2}-\frac{k^2}{8n^4}+\ldots\big);$

$n+\frac{k}{2n}-\frac{k^2}{8n^3}\leqslant\sqrt{n^2+k}\leqslant n+\frac{k}{2n}$

(неравенство слева верно потому, что ряд там знакочередующийся; ну а поскольку мы знаем, что оно верно -- формально обосновать его легко уже и элементарными средствами, безо всякого Тейлора). Теперь сумма оценок справа равна $2n^2+n+\frac12$, а сумма лишних отрицательных слагаемых слева явно меньше половинки.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group