Нетривиальных по

нет.
что значит "нетривиальных по y"?
Решения обратного уравнения теплопроводности c такой начальной функцией будут и решениями прямого, если поменять знак времени. А они по

аналитичны. С компактным носителем кроме нуля таких нет.
Для записи надо, чтобы начальные данные были из класса основных функций — гладких с компактным носителем, скажем
совершенно непонятно написано, что одна фраза, что другая
Функция

сойдет в качестве корректного начального условия?
а по-вашему она принадлежит

?
Если его применять, то получится бесконечность в 0 для времени. Я не знаю, как вы планируете от нее избавляться, она возникает при любых начальных условиях.
Преобразование Фурье является изометрическим изоморфизмом пространства

. Функция

при всех

Значит ее Фурье-прообраз -

причем

. А все "бесконечности в нуле" только у Вас в голове существуют.