Нестационарное гиперболическое уравнение

[Oleg Zubelevich]

написал чуть аккуратней

Munin в сообщении #820018 писал(а):

По-моему, очевидно, что плоскость $(x,y)$ расположена "как в школе", и "левый нижний" - это $x<0\wedge y<0$ (плюс, возможно, граница). А условия не краевые, а начальные.

Спасибо за разъяснения.
Берем преобразование Фурье по $x,y$. Получаем $U_t=-\xi_1^2U+\xi_2^2 U+cU$ откуда
$U=H(\xi_1,\xi_2)e^{(\xi_2^2-\xi_1^2+c)t}$
Пусть теперь $W=\{w(\xi_1,\xi_2)\in L^2(\mathbb{R}^2)\mid w e^{(\xi_2^2-\xi_1^2)t}\in L^2(\mathbb{R}^2),\quad \forall t\ge 0\}$
Из написанного ясно, что задача корректно решается при $h\in \mathcal F^{-1}(W)$, где $\mathcal F$ -- преобразование Фурье ($U=\mathcal F u,\quad H=\mathcal F h$)

-- Вт янв 28, 2014 21:05:10 --

ChaosProcess в сообщении #820069 писал(а):

Это все замечательно, но надо еще вернутся в исходное пространство $(x,y)$, а там возникает множитель $\frac {1}{t}$, из-за которого бесконечность не только при $t \to\infty$,

это что-то опять невнятное. Вы , кстати, разницу между интегралом Фурье и преобразованием Фурье в $L^2(\mathbb{R})$ понимаете?

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #820084 писал(а):

это что-то опять невнятное. Вы , кстати, разницу между интегралом Фурье и преобразованием Фурье в $L^2(\mathbb{R})$ понимаете?

Вы возьмите обратное преобразование Фурье от

Oleg Zubelevich в сообщении #820084 писал(а):

$U=H(\xi_1,\xi_2)e^{(\xi_2^2-\xi_1^2+c)t}$

Если не хотите, гляньте в сообщение Vince Diesel, там уже написана функция.

[Oleg Zubelevich]

Продолжаете не понимать.

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #820121 писал(а):

Продолжаете не понимать.

Приведите определение преобразования Фурье в вашем понимании.

[Munin]

Oleg Zubelevich
Я не знаю, как это посчитать, поэтому спрошу у вас: у функций из вашего $\mathcal{F}^{-1}(W)$ есть хоть одна с компактным носителем?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #820128 писал(а):

у функций из вашего $\mathcal{F}^{-1}(W)$ есть хоть одна с компактным носителем?

Есть, ноль, например. А про другие не знаю, подумать надо. Свойства пространства $\mathcal{F}^{-1}(W)$ это тема для отдельного разговора. Пространства всегда выбираются индивидуально для каждого ДУ. А вы думали как весовые всякие разные пространства Соболева, Гельдера, Бесселевых потенциалов и еще много чего появляются? Вот именно так. Я указал пространство в котором задача корректна. Не нравится -- придумайте лучше.

ChaosProcess в сообщении #820124 писал(а):

Приведите определение преобразования Фурье в вашем понимании.

Так ставить вопрос не надо. Мое понимание соответствует учебникам. Идите почитайте.

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #820131 писал(а):

Так ставить вопрос не надо. Мое понимание соответствует учебникам. Идите почитайте.

То, которое знаю я, в целом соответствует определению в вики. Если вам принципиально, могу привести конкретные учебники. Если его применять, то получится бесконечность в 0 для времени. Я не знаю, как вы планируете от нее избавляться, она возникает при любых начальных условиях.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #820131 писал(а):

Есть, ноль, например. А про другие не знаю, подумать надо.

Ну это скучно. Я подразумевал ненулевые, просто не произнёс этого.

Oleg Zubelevich в сообщении #820131 писал(а):

Я указал пространство в котором задача корректна. Не нравится -- придумайте лучше.

Я не говорю, что не нравится. Я просто с ним совершенно не знаком ещё. Попросил вас познакомить меня с ним. На уровне первого шага. Прошу, подумайте.

[Vince Diesel]

Munin в сообщении #820128 писал(а):

у функций из вашего $\mathcal{F}^{-1}(W)$ есть хоть одна с компактным носителем?

Нетривиальных по $y$ нет. Зафиксируем $x$. Решения обратного уравнения теплопроводности c такой начальной функцией будут и решениями прямого, если поменять знак времени. А они по $y$ аналитичны. С компактным носителем кроме нуля таких нет.

ChaosProcess в сообщении #819969 писал(а):

Это вы имеете ввиду, что даже на роль обобщенной функции не годится такое решение?

Для записи надо, чтобы начальные данные были из класса основных функций — гладких с компактным носителем, скажем. А для них то решения и нет. Класс Oleg Zubelevich состоит из аналитических по $y$ функций, у которых преобразование Фурье быстро убывает по соотв.переменной.

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #820147 писал(а):

А они по $y$ аналитичны. С компактным носителем кроме нуля таких нет.

Как же bump function?

-- 28.01.2014 23:57:46 --

Vince Diesel в сообщении #820147 писал(а):

Класс Oleg Zubelevich состоит из аналитических по $y$ функций, у которых преобразование Фурье быстро убывает по соотв.переменной.

Вот я и смотрю, что слишком быстро для практической применимости...

[ChaosProcess]

2Oleg Zubelevich
Функция $h=e^{-{\xi}^4_2}$ сойдет в качестве корректного начального условия?

[Oleg Zubelevich]

Vince Diesel в сообщении #820147 писал(а):

Нетривиальных по $y$ нет.

что значит "нетривиальных по y"?

Vince Diesel в сообщении #820147 писал(а):

Решения обратного уравнения теплопроводности c такой начальной функцией будут и решениями прямого, если поменять знак времени. А они по $y$ аналитичны. С компактным носителем кроме нуля таких нет.

Vince Diesel в сообщении #820147 писал(а):

Для записи надо, чтобы начальные данные были из класса основных функций — гладких с компактным носителем, скажем

совершенно непонятно написано, что одна фраза, что другая

ChaosProcess в сообщении #820152 писал(а):

Функция $h=e^{-{\xi}^4_2}$ сойдет в качестве корректного начального условия?

а по-вашему она принадлежит $L^2(\mathbb{R}^2)$?

ChaosProcess в сообщении #820133 писал(а):

Если его применять, то получится бесконечность в 0 для времени. Я не знаю, как вы планируете от нее избавляться, она возникает при любых начальных условиях.

Преобразование Фурье является изометрическим изоморфизмом пространства $L^2(\mathbb{R}^2)$. Функция $U(t,\cdot)\in L^2(\mathbb{R}^2)$ при всех $t\ge 0$ Значит ее Фурье-прообраз - $u(t,\cdot)\in L^2(\mathbb{R}^2)$ причем $\|U(t,\cdot)\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}}=\|u(t,\cdot)\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}$. А все "бесконечности в нуле" только у Вас в голове существуют.

[ChaosProcess]

Oleg Zubelevich в сообщении #820182 писал(а):

Преобразование Фурье является изометрическим изоморфизмом пространства $L^2(\mathbb{R}^2)$. Функция $U(t,\cdot)\in L^2(\mathbb{R}^2)$ при всех $t\ge 0$ Значит ее Фурье-прообраз принадлежит томуже пространству и имеет при каждом $t$ ту же норму, что и $U$. А все "бесконечности в нуле" только у Вас в голове существуют.

Это я уже понял, ошибался.

Oleg Zubelevich в сообщении #820182 писал(а):

а по-вашему она принадлежит $L^2(\mathbb{R}^2)$?

Ну пусть будет $h=e^{-\xi^4_2-\xi_1}.$

[g______d]

Munin в сообщении #820151 писал(а):

Как же bump function?

Это бесконечно гладкая, но не аналитическая функция. Ее преобразование Фурье убывает быстрее любой степени (со всеми производными), но медленее любой экспоненты вида $e^{-a|\xi|}$. Можете поразвлекаться с методом стац. фазы и посчитать точную скорость убывания, или подсмотреть ответ в wiki.

[Vince Diesel]

Munin в сообщении #819958 писал(а):

И вообще, существует ли какая-нибудь связь между уравнениями

Вспомнил ссылку только для решения краевых задач, Лавреньтьев М.М., "Одномерные обратные задачи математики". Пусть $D\subset \mathbb R^n$ — ограниченная область, $L$ — эллиптический оператор второго порядка (в частности, Лапласа) , и в области $D\times(0,\infty)$ с боковой границей $S$ рассматриваются решения краевых задач

$$ u_{tt}=Lu,\quad u|_{t=0}=f,\quad u_t|_{t=0}=f,\quad u|_S=0, $$

$$ v_{t}=Lv,\quad v|_{t=0}=f,\quad v|_S=0. $$

Тогда

$$ v(x,t)=\frac1{\sqrt{\pi t}}\int_0^\infty e^{-\frac{\tau^2}{4t}}u(x,\tau)\,d\tau. $$

Судя по доказательству, и для задачи Коши верно.

А для ф.р. формально надо брать $f(x)=\delta(x)$, что приводит к

$$ Z(x,t)=\frac1{\sqrt{\pi t}}\int_0^\infty e^{-\frac{\tau^2}{4t}}H_t(x,\tau)\,d\tau, $$

где $Z$ и $H$ — соответствующие ф.р. Для $n=1$ проходит, а для $n=2$ интеграл получается расходящийся. Как-то преобразовывать или интерпретировать надо, чтобы придать смысл.