Объём тела.

[M<ath]

Тело такое:
$x^2 +y^2+z^2= R^2$
$z=a; z=b; (b>a>0)$
Необходимо различными методами просто расставить пределы. Пытался в сферической и цилиндрической.
Сферическая:

$$ 0 \le \varphi \le 2\pi $$

$$ \arccos(a/R) \le \theta \le \arccos(b/R) $$

$$ 0 \le \rho \le R $$

В цилиндрической не могу понять, как изменяется $ \rho $, попробовал разбить на 2 интеграла, в 1:

$$ 0 \le \varphi \le 2\pi $$

$$ \sqrt{R^2-b^2} \le \rho \le \sqrt{R^2-a^2} $$

$$ a \le z \le b $$

Во 2 интеграле:

$$ 0 \le \varphi \le 2\pi $$

$$ 0 \le \rho \le \sqrt{R^2-b^2} $$

$$ a \le z \le b $$

Ну и совсем ничего не сходится, естественно

[svv]

Как раз в цилиндрической системе координат можно, правильно выбрав «внешнюю» переменную, получить внутренний интеграл, где верхний предел будет задаваться единой формулой (и нижний тоже).

А в сферической — нельзя.

[M<ath]

Можно поподробнее? Почему нельзя в сферической и как определять изменения переменных в цилиндрической?

[svv]

Начнем с цилиндрической.
Попробуйте догадаться по картинке.

Слева удачный выбор внешней переменной интегрирования:
на всей области изменения внешней переменной — один и тот же закон для пределов внутренней переменной.

Справа неудачный выбор.

[M<ath]

Выбираем $z$ внешней переменной, изменяться она будет от a до b, в таком случае $\rho$ от $-\sqrt{R^2-z^2}$ до $\sqrt{R^2-z^2}$?

[svv]

Молодец, почти правильно.
Только $\rho$ меняется от $0$. Ведь оно всегда неотрицательно.
Посмотрите на картинки: я не случайно на каждом из рисунков показывал интегрирование только справа от оси $z$.
Чтобы попасть в левую часть каждого рисунка и проинтегрировать там, надо не отрицательное $\rho$ брать, а изменить $\varphi$ на $\pi$ (т.е. на полоборота).

[M<ath]

Вот кстати, есть момент, который не очень понимаю. Надо ли при этом умножать полученное значение на 2?

[svv]

Нет. То, чего Вы хотите этим добиться, сделает интеграл по $\varphi$.

[M<ath]

Давайте подытожим, интеграл для нахождения объёма должен выглядеть так??

$$\int_{0}^{\pi } d\varphi\int_{a}^{b} dz\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2} } d\rho$$

Что тогда делать со сферическими координатми?

[svv]

1) $\varphi$ меняется от $0$ до $2\pi$ (иначе полуплоскость $\varphi=\operatorname{const}$ не опишет полный оборот вокруг вертикальной оси).
2) Пропущен якобиан.
3) Всё в предположении $0<a<b<R$.
Со сферическими позже.

[M<ath]

Ой, да, прошу прощения, якобиан пропустил. Спасибо за помощь!

[svv]

M<ath
Значит, Вы поняли? $\rho$ меняется от нуля, и потому, меняя $\rho$ и $z$, вы остаетесь в полуплоскости (как страница, прикрепленная к корешку книги — оси $z$). На «другую сторону» Вы попадаете не за счет ухода $\rho$ в отрицательную область (нельзя!), а за счет того, что $\varphi$ меняется от $0$ до $2\pi$, и страничка делает вокруг корешка полный оборот.

[M<ath]

Да! Наконец, понял, почему так. Спасибо ещё раз.

[svv]

Сферическая система. В любом случае внутренний интеграл придется разбить на два, с разными формулами для пределов.


Как бы я сам находил объем, если уж надо использовать сферические координаты.
Как разность объемов фигур, которые в сечении изображены желтым и зеленым цветом (т.е. объем желтой шапочки минус объем зеленой шапочки).

Выгоды:
$\bullet$ Интегралы становятся однотипными.
$\bullet$ Каждый интеграл уже не надо разбивать на два, в каждом формула для пределов единая.
$\bullet$ Результат интегрирования легко проверяется (объемы таких фигур есть в справочниках).

[M<ath]

жёлтая область:

$$ 0 \le \varphi \le 2\pi $$

$$ 0 \le \theta \le \arccos(a/R) $$

$$ 0 \le \rho \le R $$

зелёная:

$$ 0 \le \varphi \le 2\pi $$

$$ 0 \le \theta \le \arccos(b/R) $$

$$ 0 \le \rho \le R $$

Правильно?