Объём тела.

[M<ath]

Точнее, $\rho$ меняется немного иначе. Для жёлтой области: $ a \le \rho \le R$, а для зелёной: $ b \le \rho \le R$

[svv]

M<ath
Это сферические координаты. Они хуже, чем цилиндрические, соответствуют форме области, и мы их используем только потому, что таково задание.

В сферических координатах радиальная координата $r$ — это расстояние от начала координат до точки (а не от оси $Oz$ до точки). Поэтому если внешний интеграл будет по $\theta$, то нижний предел $r$ будет зависеть от $\theta$. Зависимость эту можно найти из условия $r\cos\theta=a$ (или $b$).

Если же внешний интеграл будет по $r$, то верхний предел $\theta$ будет зависеть от $r$. Зависимость можно найти из того же условия.

[M<ath]

Получается, если внешний - по $\theta$, $r$ меняется от $a/\cos\theta$ до $R$?

[svv]

Да. Выглядит это так:

Хорошо видно: чем больше $\theta$, тем больше нижний предел $r$.
Наконец, при $\theta=\arccos \frac a R$ нижний предел становится равен верхнему, т.е. $R$.

Это для большой шапочки, а для маленькой вместо $a$ будет $b$.

[M<ath]

Огромное вам спасибо за помощь! Разобрался с этими задачками, порешал ещё подобное, вроде всё понятно стало.