Опять комбинаторика

[MestnyBomzh]

Кому не трудно-ответьте, пожалуйста, на вопросы, буду благодарен!:)
1
Сколькими способами можно выстроить очередь из $7$ человек ($A-H$) так, чтобы никакая из пар $AB$, $DE$ и $CH$ не стояла именно в этом порядке? Моё решение: всего способов переставить $A-H$: $7!$. Теперь вычтем случаи, когда все пары $AB$, $DE$ и $CH$ стоят именно в таком порядке: (в данном случае мы, как бы, объединяем $AB$, $DE$ и $CH$ в три элемента и смотрим все возможные перестановки с оставшимся элементом - $F$) $4!$. Ответ: $7!-4!$
2.
Сколько существует пятизначных чисел, в которых все цифры нечётны? Найдите сумму таких чисел. Про первый вопрос здесь очевидно: $5^5$. А как найти их сумму? Нужно найти какую-то закономерность?
3
В круговом шахматном турнире участвуют $7$ игроков
а)Сколькими способами можно составить расписание 1-го тура (кто-то один будет в первом туре свободен от игры)
б) Пусть расписание первого тура уже известно. Сколькими способами можно составить расписание 2-го тура (пары и свободный от игры участник не должны повторяться)?
В пункте а) получилось $105$, а вот во втором пункте возникли трудности. Не подскажите, как тут?

[svv]

1) Правильно, если только верно истолковано условие.

Может быть, нельзя допускать, чтобы элементы $A, B$ стояли в порядке «сначала $A$, потом $B$» даже будучи разделены другими элементами? Например, $AHFB...$ тоже не допускается?

2) Возьмем, например, старший разряд — десятки тысяч. Там равное количество раз встречается каждая нечетная цифра.

Другой способ.
Каждому числу из множества «пятизначные с нечетными цифрами» сопоставим дополнительное, у которого вместо $1$ стоит $9$, вместо $3$ стоит $7$ и так далее. Тогда множество дополнительных чисел совпадает с исходным множеством. А сумма исходного числа и его дополнительного всегда одна и та же.

[provincialka]

MestnyBomzh в сообщении #816742 писал(а):

Теперь вычтем случаи, когда все пары

Почему все? Противоположностью к "никакая" будет "некоторая"

[DjD USB]

Во-втором задании сумму по моему можно подсчитать еще так:
1+2+...+99999-(1+2+3+...+9999+10000)-2(5000+5001+...+49999)=10001+10003+...+99999
Последнюю скобку можно тоже упростить:
5000+5001+...+49999=(1+2+....+49999)-(1+2+...+4999)

[popolznev]

MestnyBomzh в сообщении #816742 писал(а):

Сколькими способами можно выстроить очередь из $7$ человек ($A-H$)...

Насколько я помню шахматную доску, $H$ - это 8, а не 7.

[Deggial]

DjD USB, предупреждение за полное решение простой учебной задачи и за неоформление формул $\TeX$ом

[MestnyBomzh]

popolznev в сообщении #816844 писал(а):

Насколько я помню шахматную доску, $H$ - это 8, а не 7.

Тут уж вопросы к составителю...

svv в сообщении #816792 писал(а):

1) Правильно, если только верно истолковано условие.

Я думаю, что всё же это не так...Другое дело, что я неверно посчитал, как правильно написала provincialka нужно считать не только для всех, но и по-отдельности.

Можно ли тогда посчитать по формуле включения-исключения? Сначала для фиксированной пары $AB$, потом для фиксированной пары $DE$, потом для $CH$. Потом для их всех их "пересечений"-пар, а после уже для всех трех? Тогда получим так: количество неподходящих случаев равно $6!+6!+6!-C^2_35!+4!$. И тогда количество подходящих равно: $7!-3 \cdot 6!+c^2_35!-4!$

DjD USB в сообщении #816821 писал(а):

Во-втором задании сумму по моему можно подсчитать еще так:
1+2+...+99999-(1+2+3+...+9999+10000)-2(5000+5001+...+49999)=10001+10003+...+99999
Последнюю скобку можно тоже упростить:
5000+5001+...+49999=(1+2+....+49999)-(1+2+...+4999)

А вы разве не находите сумму всех нечетных пятизначных чисел? или я что-то путаю?

svv в сообщении #816792 писал(а):

Другой способ.
Каждому числу из множества «пятизначные с нечетными цифрами» сопоставим дополнительное, у которого вместо $1$ стоит $9$, вместо $3$ стоит $7$ и так далее. Тогда множество дополнительных чисел совпадает с исходным множеством. А сумма исходного числа и его дополнительного всегда одна и та же.

У меня получилось: $5^5 \cdot 55555=5^6 \cdot 11111$

[provincialka]

Вроде верно.