Двойное уравнение в натуральных числах

[matidiot]

Уравнение $x_1^2+x_1\cdot y_1+y_1^2=x_2^2+x_2\cdot y_2+y_2^2$ имеет решение в виде двух пар $(1;9),(5;6)$, а есть ли решения для двойного уравнения: $x_1^2+x_1\cdot y_1+y_1^2=x_2^2+x_2\cdot y_2+y_2^2=x_3^2+x_3\cdot y_3+y_3^2$?

[Sonic86]

Для $\omega : \omega^3=1, \omega\neq 1$ функция $N(x+\omega y)=x^2+xy+y^2$ мультипликативна, потому чем больше разложения числа $A$ в $\mathbb{Z}[\omega]$ на множители, тем больше решений у уравнения $x^2+xy+y^2=A$. В деталях предлагаю Вам поразбираться самим для интереса. Можете также в Айрленда Роузена глянуть.

$\mathbb{Z}[\omega]$ - область целостности с однозначным разложением на множители. Простых элементов в нем бесконечно много.

[matidiot]

Большое спасибо, не ожидал такого быстрого ответа. Постараюсь разобраться!