Постройте пример функции, имеющей два несоизмеримых периода

[svv]

Ktina
Да. Счетное. Любые два периода $n_1+k_1\pi$ и $n_2+k_2\pi$ таких, что $n_1k_2\neq k_1n_2$.

[Ktina]

Ms-dos4 в сообщении #814376 писал(а):

А эллиптические функции разве не подходят?

Задача - для первого курса:
http://vk.com/topic-1827546_3283099
(первый тур, задача №3)

[gris]

Ktina, вот для алгебраических чисел (почти) все периоды вида $p^r$ будут несоизмеримыми. Но их счётное число.

[Ktina]

gris в сообщении #814383 писал(а):

Ktina, вот для алгебраических чисел (почти) все периоды вида $p^r$ будут несоизмеримыми. Но их счётное число.

Вы ведь пытаетесь этим что-то сказать, верно?

[gris]

Так Вы же спросили о счтности.
Кстати, такая функция или постоянна, или всюду разрывна.

[patzer2097]

gris в сообщении #814358 писал(а):

Чего-то мне кажется, что множество периодов при наличии двух рационально несоизмеримых будет всюду плотно

это верно, так как мера иррациональности любого иррационального числа больше $1$. поэтому непрерывные функции с нашими свойствами постоянны..

Ktina в сообщении #814372 писал(а):

Не желаете ли Вы этим сказать, что мы имеем дело с функцией, имеющей счётное количество попарно несоизмеримых периодов? Или их даже целый континуум?

пока счетное.. если хотите континуум, то вот рецепт специально для Вас: берете базис Гамеля $H$ линейного пространства $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$ и выбрасываете из него один элемент $\widetilde{\Psi_0}$, получаете множество $H'$. Рассматриваете функцию $f$, для которой $f(x)=1$ если $x=c_1h_1+\ldots+c_nh_n$ для каких-то $c_i\in\mathbb{Z}$ и $h_i\in H'$, и $f(x)=0$ в противном случае. Функция не будет постоянна, поскольку $f(0)=1\neq0=f\left(\widetilde{\Psi_0}\right)$, и любое число $h\in H'$ будет периодом.