2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сферы в эрэн (Зорич VII.1.4)
Сообщение06.01.2014, 00:17 
Аватара пользователя
В пространстве $\mathbb{R}^n$ сферы $\mathbb{S}^p$ и $\mathbb{S}^k$ расположились так, что расстояние от любой точки $\mathbb{S}^p$ до любой точки $\mathbb{S}^k$ одно и то же. При каком соотношении между $n,p,k$ такое может быть?

Вполне очевидно что при $(p+1)+(k+1) \leqslant n$ это возможно, просто засовываем одну сферу в первые $p+1$ координат, а вторую сферу в последующие $k+1$ координат, но как доказать, что иначе невозможно?

 
 
 
 Re: Сферы в эрэн (Зорич VII.1.4)
Сообщение06.01.2014, 02:21 
Ну, если я правильно понял, возьмём, к примеру, трёхмерное пространство и в нём окружность. Множество равноудалённых точек — прямая, проходящая через центр и перпендикулярная плоскости окружности. Вторая окружность из условия задачи обязана на этой прямой лежать.
Имхо, если обобщить на произвольные размерности, должно получаться примерно так же.

 
 
 
 Re: Сферы в эрэн (Зорич VII.1.4)
Сообщение07.01.2014, 15:03 
У меня получилось $p+k< n$ .

 
 
 
 Re: Сферы в эрэн (Зорич VII.1.4)
Сообщение07.01.2014, 15:22 
ГАЗ-67 в сообщении #810663 писал(а):
У меня получилось $p+k< n$ .

Смотря что понимать под $p,\ k$. Стандартно всё-таки считается, что обычная сфера в трёхмерном пространстве двумерна, а окружность -- одномерна. И в любом случае неравенство, разумеется, нестрогое.

iifat в сообщении #810029 писал(а):
Имхо, если обобщить на произвольные размерности, должно получаться примерно так же.

Ну естественно. Вторая сфера обязана лежать в подпространстве, проходящем через центр первой сферы и ортогональном подпространству, в котором лежит первая сфера. Поскольку если мы от этой "вертикали" отклонимся, то отклонимся в направлении подпространства первой сферы.

 
 
 
 Re: Сферы в эрэн (Зорич VII.1.4)
Сообщение08.01.2014, 05:12 
Аватара пользователя
Да, уже разобрался, спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group