Сферы в эрэн (Зорич VII.1.4)

[Urnwestek]

В пространстве $\mathbb{R}^n$ сферы $\mathbb{S}^p$ и $\mathbb{S}^k$ расположились так, что расстояние от любой точки $\mathbb{S}^p$ до любой точки $\mathbb{S}^k$ одно и то же. При каком соотношении между $n,p,k$ такое может быть?

Вполне очевидно что при $(p+1)+(k+1) \leqslant n$ это возможно, просто засовываем одну сферу в первые $p+1$ координат, а вторую сферу в последующие $k+1$ координат, но как доказать, что иначе невозможно?

[iifat]

Ну, если я правильно понял, возьмём, к примеру, трёхмерное пространство и в нём окружность. Множество равноудалённых точек — прямая, проходящая через центр и перпендикулярная плоскости окружности. Вторая окружность из условия задачи обязана на этой прямой лежать.
Имхо, если обобщить на произвольные размерности, должно получаться примерно так же.

[ГАЗ-67]

У меня получилось $p+k< n$ .

[ewert]

ГАЗ-67 в сообщении #810663 писал(а):

У меня получилось $p+k< n$ .

Смотря что понимать под $p,\ k$. Стандартно всё-таки считается, что обычная сфера в трёхмерном пространстве двумерна, а окружность -- одномерна. И в любом случае неравенство, разумеется, нестрогое.

iifat в сообщении #810029 писал(а):

Имхо, если обобщить на произвольные размерности, должно получаться примерно так же.

Ну естественно. Вторая сфера обязана лежать в подпространстве, проходящем через центр первой сферы и ортогональном подпространству, в котором лежит первая сфера. Поскольку если мы от этой "вертикали" отклонимся, то отклонимся в направлении подпространства первой сферы.

[Urnwestek]

Да, уже разобрался, спасибо.