я что-то не уловил (может невнимательно смотрел) а как из написанного следует, что оператор дифференцирования соответствует именно вектору, а не ковектору или еще чему-нибудь?
Никак не следует. Мы не доказывали, что это именно векторы, в противоположность ковекторам. Мы доказывали, что это векторы как элементы векторного (в смысле: линейного) пространства. (Ковекторы, кстати, тоже элементы векторного пространства.)