2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 19:24 


03/01/14
2

Почему
$P(x_0+kP(x_0))$ делится нацело на $P(x_0)$
Где $P(x)$ - целочисленный многочлен, старший коэффициент которого положителен.
:facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 19:35 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну это как-то совсем очевидно... например, подставить и слегка раскрыть скобочки не пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 19:39 


05/09/12
2587
Простите за глупый вопрос, а это утверждение можно доказать индукцией по степеням многочлена?

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 19:54 


03/01/14
2
Разобрался. :o
Это действительно очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 19:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Otta в сообщении #809190 писал(а):
Ну это как-то совсем очевидно...
Конечно, очевидно --- достаточно простейших свойств сравнений по модулю.
_Ivana в сообщении #809194 писал(а):
Простите за глупый вопрос, а это утверждение можно доказать индукцией по степеням многочлена?
А зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 20:02 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
nnosipov в сообщении #809205 писал(а):
достаточно простейших свойств сравнений по модулю.

Да, так запись красивше будет, верно :D (а суть та же). Но мне хотелось что-то более алгебраическое придумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 20:09 


05/09/12
2587
nnosipov в сообщении #809205 писал(а):
А зачем?
Чтобы решить эту заинтересовавшую меня задачу, применяя известные мне приемы и методы. Но я еще немного подумал, индукция по степени многочлена оказалась громоздка, а вот индукцией по $k$ я почти доказал, если не ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 20:11 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
_Ivana
Фишка в том, что целочисленность коэффициентов, как и неотрицательность старшего - условия несущественные, поэтому индукция по $k$ не слишком хорошая идея.

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 20:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Otta в сообщении #809206 писал(а):
Но мне хотелось что-то более алгебраическое придумать.
Сравнение с идеалом по модулю идеала --- самая алгебра и есть. Лень ведь каждый раз скобки раскрывать, вот и придумали.

-- Сб янв 04, 2014 00:17:56 --

Otta в сообщении #809210 писал(а):
что целочисленность коэффициентов ... условие несущественное
Хм ... Почему? Вы намекаете, что утверждение верно для целозначных многочленов?

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 20:18 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Обычно так делают:
$f(x)-f(y)\vdots (x-y)$ - доказывается разными способами.
$P(x_0+kP(x_0))-P(x_0)\vdots(kP(x_0))$ откуда следует то. что нужно доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 20:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Null в сообщении #809212 писал(а):
Обычно так делают:

Во! то, чего хотелось.
nnosipov

(Оффтоп)

)) Я не к тому, что в сравнениях мне не хватало алгебры, интересно было, можно ли использовать специфику многочленов.

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 20:21 
Заслуженный участник


08/01/12
915
nnosipov в сообщении #809211 писал(а):
Otta в сообщении #809210 писал(а):
что целочисленность коэффициентов ... условие несущественное
Хм ... Почему? Вы намекаете, что утверждение верно для целозначных многочленов?

Утверждение верно для многочленов над любым (хорошим) кольцом, целочисленность тут ни при чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 20:22 


05/09/12
2587
Otta в сообщении #809210 писал(а):
целочисленность коэффициентов, как и неотрицательность старшего - условия несущественные
Проверкой для многочлена первой степени частное получается равно $ka_1+1$, где $a_1$ - коэффициент при первой степени многочлена. Из чего следует, что не при любых коэффициентах частное целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 20:25 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
nnosipov в сообщении #809211 писал(а):
Хм ... Почему? Вы намекаете, что утверждение верно для целозначных многочленов?

Если рассматривать именно делимость чисел, то целочисленность коэффициентов нужна, конечно (ибо иначе бессмысленно). Но верно и то, что многочлен $P(x+kP(x))$ делится (как многочлен) на $P(x)$. Для любых значений коэффициентов. Я это имела в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: О многочлене и простых числах
Сообщение03.01.2014, 20:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
apriv в сообщении #809214 писал(а):
Утверждение верно для многочленов над любым (хорошим) кольцом
Это понятно. Но я имел в виду целозначные многочлены, т.е. многочлены с (вообще говоря) рациональными коэффициентами, но при всех целых значениях аргумента принимающие целые значения. Для таких многочленов утверждение ТС осмысленно, но неверно (легко привести контрпример).

-- Сб янв 04, 2014 00:27:29 --

Otta в сообщении #809217 писал(а):
Но верно и то, что многочлен $P(x+kP(x))$ делится (как многочлен) на $P(x)$. Для любых значений коэффициентов. Я это имела в виду.
Теперь понятно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group