Норма оператора в L_2

[Vince Diesel]

Найти норму оператора $Af(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ в пространстве $L_2([0,1])$.

Решение имеется. Но интересно, есть ли стандартные методы?

[exitone]

Стандартный метод заключается в том, чтобы оценить норму образа
$||Af||\leq C ||f||$. В 99% случаев, "если делать все четко" то $C$ и получается нормой оператора, нужно только указать элемент, на котором эта $C$ достигается.
В вашем случае нужно использовать неравенство Гельдера.

[Oleg Zubelevich]

раскладываем в ряд Фурье, норма выражается в терминах суммы ряда $\sum\frac{1}{k^2}$)

[sup]

Я, скорее, соглашусь с exitone. Здесь же почти неравенство Харди. А там интегрирование по частям и неравенство Гельдера.
А "стандартный метод" - это наверное вариационная постановка. В данном случае все получается довольно просто. Разве нет?

-- Чт янв 02, 2014 15:38:52 --

На всякий случай уточню свою мысль. Мне кажется, что здесь "вариации на тему неравенства Харди".

[Oleg Zubelevich]

вот буду действовать из неравенства Йенсена:

$\int_0^1(\int_0^xf(t)dt)^2dx\le \int_0^1x\int_0^xf^2dtdx\le \|f\|^2_{L^2[0,1]}/2$
$\|A\|=1/\sqrt 2$ правильно или загрубил?

[sup]

Оптимум достигается на $f(t)= \cos(\pi t/2)$

[Vince Diesel]

Oleg Zubelevich в сообщении #808601 писал(а):

раскладываем в ряд Фурье, норма выражается в терминах суммы ряда $\sum\frac{1}{k^2}$)

По каким функциям?

sup в сообщении #808603 писал(а):

Я, скорее, соглашусь с exitone. Здесь же почти неравенство Харди.

Там промежуток бесконечный. А для конечных это надо искать точные константы в обощенных неравенствах Харди http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/6030/ХАРДИ ?

sup в сообщении #808603 писал(а):

А "стандартный метод" - это наверное вариационная постановка.

Как это можно здесь сделать?

sup в сообщении #808620 писал(а):

Оптимум достигается на $f(t)= \cos(\pi t/2)$

Да. Как вы это получили?

Oleg Zubelevich в сообщении #808613 писал(а):

вот буду действовать из неравенства Йенсена:

$\int_0^1(\int_0^xf(t)dt)^2dx\le \int_0^1x\int_0^xf^2dtdx\le \|f\|^2_{L^2[0,1]}/2$
$\|A\|=1/\sqrt 2$ правильно или загрубил?

Да, ответ поменьше, $2/\pi$.

[exitone]

Цитата:

По каким функциям?

от нуля до одного по синусам

[sup]

Положим
$y(t) = \int \limits_0^t f(x)dx$
Тогда
$f(t) = y'(t)$

Способ 1.
В духе доказательства неравенства Харди рассмотрим интеграл
$J = \int \limits_0^1 2p(t) y(t)y'(t)dt$
Тогда
$J \leqslant \int \limits_0^1 \left (p^2(t)y^2(t) + y'(t)^2 \right )dt$
С другой стороны, если $p(1) = 0$, то
$J = -\int \limits_0^1 p'(t)y^2(t)dt$
Отсюда
$J = \int \limits_0^1 \left ( -p'(t) - p^2(t) \right )y^2(t)dt \leqslant \int \limits_0^1y'(t)^2dt$
Решаем уравнение Риккатти и все получаем(решение - суть логарифмическая производная от "оптимальной" функции).

Способ 2.
Рассмотрим очевидное неравенство.
$\int \limits_0^1 \left (y'(t) - q(t)y(t) \right )^2dt \geqslant 0$
Раскрываем скобки, интегрируем по частям и подбираем $q(t)$ так, чтобы получилось неравенство вида
$\int \limits_0^1 y'(t)^2dt \geqslant C\int \limits_0^1 y^2(t)dt$
Оптимум достигается в случае $y'(t) = q(t)y(t)$

Ну и, наконец, "стандартный способ".
Найти минимум
$\int y'(t)^2dt$
при условии
$\int y(t)^2dt = 1$
в классе функций с $y(0) = 0$
Отсюда легко получаем задачу
$y'' + ay=0$
$y(0) = 0$
$y'(1) = 0$

-- Чт янв 02, 2014 18:04:26 --

Я там немного подправил выражение для $J$.

[Vince Diesel]

Здорово! А в первом способе уравнение Рикатти это $-p'(t) - p^2(t)=C$, $p(0)=1$ и находится максимальное $C$ такое, что...?

Я до этих способов не додумался, решал так. Поскольку оператор $A$ компактен, то существует ортонормированные базисы $\{\varphi_n\}$, $\{\psi_n\}$, в которых $A$ диагонализируется: $A\varphi_n=\lambda_n \psi_n$. И ответом является максимальное из чисел $|\lambda_n|$. Первое, что приходит на ум в качестве $\varphi_n$, $\psi_n$, это синусы и косинусы. Поскольку $\psi_n(0)=0$, то это синусы, a $\varphi_n$ — косинусы. Базис $\varphi_n=\sqrt2\cos((2n-1)\pi x/2)$ состоит как раз из собственных функций задачи из третьего способа.

[sup]

Vince Diesel в сообщении #808648 писал(а):

А в первом способе уравнение Рикатти это $-p'(t) - p^2(t)=C$, $p(0)=1$ и находится максимальное $C$ такое, что...?

Ну да. Надо подобрать максимальную константу так, чтобы решение уравнения Риккатти все же существовало. Отмечу, что способы 1 и 2 по сути одно и то же решение.
Строго говоря, не очевидно, что таким способом можно найти оптимальную константу. Но по факту, коль скоро удалось все точно решить, доказательство оптимальности не представляет труда. Тут главное сообразить, что в таком подходе заодно получается и норма оператора и функция, на которой эта норма реализуется.

[ewert]

sup в сообщении #808638 писал(а):

Отсюда легко получаем задачу
$y'' + ay=0$
$y(0) = 0$
$y'(1) = 0$

Vince Diesel в сообщении #808585 писал(а):

интересно, есть ли стандартные методы?

Смотря что считать стандартным. На мой взгляд, совершенно стандартный (т.е. не требующий вообще никаких раздумий) способ таков. Формально мы имеем обычный интегральный оператор с ядром $K(x,t)=\begin{cases}1\ \ (t<x),\\ 0\ \ (t>x)\end{cases}$. Для сопряжённого оператора $A^*$ ядром будет $K^*(s,x)=K(x,s)$ и, соответственно, ядро оператора $A^*A$ -- это

$G(s,t)=\int\limits_0^1K^*(s,x)\,K(x,t)\,dt=\int\limits_0^1K(x,s)\,K(x,t)\,dt=\begin{cases}1-s\ \ (t<s),\\ 1-t\ \ (t>s)\end{cases}.$

Теперь: как это интерпретировать? А стандартно и интерпретировать:

$G(s,t)=\frac1W\cdot\begin{cases}\varphi_-(t)\varphi_+(s)\ \ (t<s),\\ \varphi_+(t)\varphi_-(s)\ \ (t>s)\end{cases},$

где $\varphi_-(t)\equiv1,\ \varphi_+(t)=1-t$ и $W=1$ -- вронскиан этих функций. Сами функции суть решения дифференциального уравнения $y''=0$ с граничными условиями, соответственно, $y'(0)=0$ для первой функции и $y(1)=0$ для второй. Т.е. $G(s,t)$ есть не что иное как функция Грина соответствующей задачи Штурма-Лиувилля, т.е. ядро оператора, обратного к дифференциальному оператору $(-\frac{d^2}{dt^2})$ с такими граничными условиями. Поэтому $\frac1{\|A\|^2}=\frac1{\|A^*A\|}=(\frac{\pi}2)^2$ (наименьшее собственное число оператора Штурма-Лиувилля, отвечающее собственной функции $\cos\frac{\pi t}2$).

[sup]

Очень интересное решение. Но, как мне кажется, требует некоторой догадки (представление G как функции Грина, краевые условия в задаче Штурма-Лиувилля). А в остальном - весьма оригинально.
Можно ли назвать такой подход стандартным? Не уверен. Смущает именно необходимость чего-то там "угадывать". В этом смысле вариационная постановка куда более прямолинейная. А результат, как и следовало ожидать, один и тот же.

[ewert]

sup в сообщении #809662 писал(а):

Но, как мне кажется, требует некоторой догадки (представление G как функции Грина, краевые условия в задаче Штурма-Лиувилля).

Но ведь Vince Diesel просил не "очевидное" решение, а "стандартное". Я стандартное и выложил. В том смысле, что для оценки нормы (или просто при доказательстве ограниченности) переход к оператору $A^*A$ -- шаг вполне стандартный. И что в задачах такого типа довольно часто игра строится именно на том, что оператор $A^*A$ (будучи интегральным и при этом заведомо неотрицательным) оказывается обратным к некоторому оператору Штурма-Лиувилля или родственному ему. Конкретно про функцию Грина я только что сочинил, чтобы сделать изложение более компактным; выйти на задачу Ш.-Л. вполне можно и тупым дифференцированием, если только знать, к чему стремиться. Просто тупое дифференцирование несколько зануднее.

[sup]

ewert в сообщении #809665 писал(а):

В том смысле, что для оценки нормы (или просто при доказательстве ограниченности) переход к оператору $A^*A$ -- шаг вполне стандартный.

Это да. В этом смысле Ваше решение вне всякой конкуренции. Что и производит впечатление.