
Доказать, что

не может быть точным квадратом.
Если развернуть скобки, получается

, т.е. имеем единицу в качестве остатка от деления на 4. Значит, по крайней мере n не может быть квадратом чётного числа.
Тогда представим n(k) в виде квадрата нечётного числа:

Отсюда делаем вывод, что

, а следовательно и

, нечётно. Тогда имеем

и

.
Что дальше делать, уже не знаю.
P. S. Аналогичная задача для

.