классические дискретные ортогональные многочлены

[Falex]

Интересуют классические дискретные ортогональные многочлены. Знаю только многочлены Кравчука (Krawtchouk).
Какие еще бывают классические дискретные многочлены и какой их вид?

[Yuri Gendelman]

В книге: Л.З.Румшинский. Математическая обработка результатов эксперимента (Справочное руководство). Наука. 1971, дискретные ортогональные полиномы Чебышева на множестве взвешенных точек (Tschebyshev-like polynomials) применялись для построения интерполяционного полинома. Книги у меня нет, но постараюсь воспроизвести по алоритму:

1. Заданы $n$ точек $x_i$ с весами $w_i$, $i=1,2,...,n$

2. Для ДОПЧ $p_j(x) , j=0,...$ определены условия ортогональности :

$\sum_{k=1}^n p_i(x_k) p_j(x_k) w_k = 0$ для $i \ne j$

3. Рекуррентные формулы:

$p_0(x) = 1$

$p_1(x) = x - <x>$

$p_{j+1}(x) = (x + \beta_{j+1}) p_j(x) - \frac {H_j} {H_{j-1}} p_{j-1}(x) $

где

$<x> = \frac {\sum_{k=1}^n x_k w_k} {\sum_{k=1}^n w_k} $

$H_j = \sum_{k=1}^n p_j(x_k)^2 w_k $

$\beta_{j+1} = - \frac {1} {H_j} \sum_{k=1}^n x_k p_j(x_k)^2 w_k $

[Falex]

Yuri Gendelman,спасибо.
А какие классические такие многочлены существуют?
На сайте http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalPolynomials.html нашел такие как Charlier Polynomial, Hahn Polynomial, Krawtchouk Polynomial, Meixner-Pollaczek Polynomial полиномы, но в их определении фигурируют символы вроде таких

$$ _2 F_1(\ldots), $$

$$ _3 F_2(\ldots) $$

мне ,например, непонятные.

[Yuri Gendelman]

Falex писал(а):

... но в их определении фигурируют символы вроде таких

$$_2 F_1(\ldots), $$

$$_3 F_2(\ldots) $$

Это - обобщенная гипергеометрическая функция:
http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html

Falex писал(а):

А какие классические такие многочлены существуют?

К сожалению не знаю. Я и на Чебышевские то наткнулся случайно.
Вот некоторые ссылки:
1. Г.Бейтмен, А.Эрдейн. Высшие трансцендентные функции
Том II. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. 1974 (см. конец главы 10).
2. Gasper G., Rahman M. Basic hypergeometric series. 1990 (see Chapter 7)

[Falex]

Спасибо.У меня книжек по ортогональным многочленам и так много:Суетин,Сеге,Бернштейн и т.д.
НО!Во всех книжках даются дифференциальные уравнения только для классических ортогональных многочленов.
Но кроме них существую и других ортогональные многочлены. Так для них нет никаких чтоли дифференциальных уравнений??!!

[Yuri Gendelman]

Вы спрашивали о классических дискретных ортогональных многочленах. Ссылки, которые я привел, касаются именно таких многочленов.

Теперь Вы говорите, что Вам нужны НЕклассические ортогональные многочлены. Ну так пройдите по приведенной Вами ссылке и посмотрите определения других ортогональных многочленов. Они сводятся к обобщенной гипергеометрической функции. Подставьте соответствующие параметры в уравнение (19).

[Falex]

В упор не вижу. Может Вы имеет ввиду, что классические ортогональные многочлены сводятся к обобщенной гипергеометрической функции.
Просто я нигде не видел,чтобы любые ортогональные многочлены сводились к классическим,ну а потом и к гипергеометрической функции.Тогда получается,что для любых ортогональных многочленов справедливо некоторое дифференциальное уравнение второго порядка.

[Yuri Gendelman]

Falex писал(а):

На сайте http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalPolynomials.html нашел такие как Charlier Polynomial, Hahn Polynomial, Krawtchouk Polynomial, Meixner-Pollaczek Polynomial полиномы, но в их определении фигурируют символы вроде таких
$..._2 F_1(\ldots), $
$..._3 F_2(\ldots)$

Yuri Gendelman писал(а):

Это - обобщенная гипергеометрическая функция:
http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html

Falex писал(а):

В упор не вижу.

По приведенной Вами ссылке переходите на
http://mathworld.wolfram.com/CharlierPolynomial.html
Находите формулу (1):
$s_\mu^{[n]}(x) = _2 F_0(-n, -x; ; - \mu ^{-1})$

Falex писал(а):

Просто я нигде не видел,чтобы любые ортогональные многочлены сводились к классическим,ну а потом и к гипергеометрической функции.

Я тоже.
...

[vadim-i-z]

Лучший источник по интересующей Вас теме - книга Никифорова, Суслова, Уварова "Классические ортогональные полиномы дискретной переменной".
Подключаюсь к дискуссии почти через год, но, если у вас есть вопросы, постараюсь ответить.