2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 классические дискретные ортогональные многочлены
Сообщение02.06.2007, 15:50 
Интересуют классические дискретные ортогональные многочлены. Знаю только многочлены Кравчука (Krawtchouk).
Какие еще бывают классические дискретные многочлены и какой их вид?

 
 
 
 
Сообщение02.06.2007, 16:55 
В книге: Л.З.Румшинский. Математическая обработка результатов эксперимента (Справочное руководство). Наука. 1971, дискретные ортогональные полиномы Чебышева на множестве взвешенных точек (Tschebyshev-like polynomials) применялись для построения интерполяционного полинома. Книги у меня нет, но постараюсь воспроизвести по алоритму:

1. Заданы $n$ точек $x_i$ с весами $w_i$, $i=1,2,...,n$

2. Для ДОПЧ $p_j(x) ,  j=0,...$ определены условия ортогональности :

$\sum_{k=1}^n p_i(x_k) p_j(x_k) w_k = 0$ для $i \ne j$

3. Рекуррентные формулы:

$p_0(x) = 1$

$p_1(x) = x - <x>$

$p_{j+1}(x) = (x + \beta_{j+1}) p_j(x) - \frac {H_j} {H_{j-1}} p_{j-1}(x) $

где

$<x> = \frac {\sum_{k=1}^n x_k w_k} {\sum_{k=1}^n w_k} $

$H_j = \sum_{k=1}^n p_j(x_k)^2 w_k $

$\beta_{j+1} = - \frac {1} {H_j} \sum_{k=1}^n x_k p_j(x_k)^2 w_k $

 
 
 
 
Сообщение02.06.2007, 17:01 
Yuri Gendelman,спасибо.
А какие классические такие многочлены существуют?
На сайте http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalPolynomials.html нашел такие как Charlier Polynomial, Hahn Polynomial, Krawtchouk Polynomial, Meixner-Pollaczek Polynomial полиномы, но в их определении фигурируют символы вроде таких
$$
_2 F_1(\ldots),
$$
$$
_3 F_2(\ldots)
$$

мне ,например, непонятные.

 
 
 
 
Сообщение02.06.2007, 19:53 
Falex писал(а):
... но в их определении фигурируют символы вроде таких $$_2 F_1(\ldots), $$ $$_3 F_2(\ldots) $$
Это - обобщенная гипергеометрическая функция:
http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html

Falex писал(а):
А какие классические такие многочлены существуют?
К сожалению не знаю. Я и на Чебышевские то наткнулся случайно.
Вот некоторые ссылки:
1. Г.Бейтмен, А.Эрдейн. Высшие трансцендентные функции
Том II. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. 1974 (см. конец главы 10).
2. Gasper G., Rahman M. Basic hypergeometric series. 1990 (see Chapter 7)

 
 
 
 
Сообщение02.06.2007, 20:12 
Спасибо.У меня книжек по ортогональным многочленам и так много:Суетин,Сеге,Бернштейн и т.д.
НО!Во всех книжках даются дифференциальные уравнения только для классических ортогональных многочленов.
Но кроме них существую и других ортогональные многочлены. Так для них нет никаких чтоли дифференциальных уравнений??!!

 
 
 
 
Сообщение02.06.2007, 22:20 
Вы спрашивали о классических дискретных ортогональных многочленах. Ссылки, которые я привел, касаются именно таких многочленов.

Теперь Вы говорите, что Вам нужны НЕклассические ортогональные многочлены. Ну так пройдите по приведенной Вами ссылке и посмотрите определения других ортогональных многочленов. Они сводятся к обобщенной гипергеометрической функции. Подставьте соответствующие параметры в уравнение (19).

 
 
 
 
Сообщение06.06.2007, 17:03 
В упор не вижу. Может Вы имеет ввиду, что классические ортогональные многочлены сводятся к обобщенной гипергеометрической функции.
Просто я нигде не видел,чтобы любые ортогональные многочлены сводились к классическим,ну а потом и к гипергеометрической функции.Тогда получается,что для любых ортогональных многочленов справедливо некоторое дифференциальное уравнение второго порядка.

 
 
 
 
Сообщение07.06.2007, 06:58 
Falex писал(а):
На сайте http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalPolynomials.html нашел такие как Charlier Polynomial, Hahn Polynomial, Krawtchouk Polynomial, Meixner-Pollaczek Polynomial полиномы, но в их определении фигурируют символы вроде таких
$..._2 F_1(\ldots), $
$..._3 F_2(\ldots)$

Yuri Gendelman писал(а):
Это - обобщенная гипергеометрическая функция:
http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html

Falex писал(а):
В упор не вижу.
По приведенной Вами ссылке переходите на
http://mathworld.wolfram.com/CharlierPolynomial.html
Находите формулу (1):
$s_\mu^{[n]}(x) = _2 F_0(-n, -x; ; - \mu ^{-1})$

Falex писал(а):
Просто я нигде не видел,чтобы любые ортогональные многочлены сводились к классическим,ну а потом и к гипергеометрической функции.
Я тоже.
...

 
 
 
 
Сообщение01.06.2008, 20:54 
Аватара пользователя
Лучший источник по интересующей Вас теме - книга Никифорова, Суслова, Уварова "Классические ортогональные полиномы дискретной переменной".
Подключаюсь к дискуссии почти через год, но, если у вас есть вопросы, постараюсь ответить.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group