Ищем матрицу линейного оператора.

[ohod]

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, разобраться в задачке.
Мне необходимо найти матрицу линейного оператора$\frac {d} {dt}: M^{n} \to M^{n-1}$ в паре базисов $1, t, t^2,...,t^n$ (допустим, базис 1) и $1, t, t^2,...,t^{n-1}$ (допустим, базис 2).

Если я правильно понимаю, мне необходимо сделать следующее:
1. Подействовать оператором $\frac {d} {dt}$ на базисные векторы 1ого базиса, тем самым я найду образы базисных векторов. Т.е., в моем случае, найти дифференциалы?
2. Найти координаты образов базисных векторов в базисе 2.
3. Записать координаты в столбцы матрицы. Это и будет матрица оператора.

Проблема у меня возникла в пункте 2. Если я правильно понимаю, $M^n$ описывает пространство многочленов степени не выше чем N, а $M^{n-1}$ - степени не выше чем n-1.
Каким образом мне сделать перевод координат вектора из базиса 1 в базис 2? Ну т.е., координат у вектора же получается на 1 меньше? Было n, а стало n-1 ?

Буду благодарна за помощь!

[svv]

Вам дважды повезло:
1) $M^{n-1}$ является подпространством $M^n$.
2) Базис $M^{n-1}$ является подмножеством базиса $M^n$.
Поэтому базис фактически один, и координаты пересчитывать не нужно. При желании вектор $y=\frac d{dt}x$ Вы можете трактовать и как вектор из $M^n$, у которого в разложении по базису коэффициент при $t^n$ нулевой.

ohod в сообщении #805738 писал(а):

Если я правильно понимаю

Да, всё правильно.

ohod в сообщении #805738 писал(а):

Ну т.е., координат у вектора же получается на 1 меньше? Было n, а стало n-1 ?

Это проявится в том, что матрица оператора будет неквадратной.

Кстати, обратите внимание на то, что размерность $M^n$ равна $n+1$ (не забывайте о $t^0=1$). Было $n+1$, стало $n$.

[ohod]

svv, спасибо!

svv в сообщении #805751 писал(а):

Кстати, обратите внимание на то, что размерность $M^n$ равна $n+1$ (не забывайте о $t^0=1$). Было $n+1$, стало $n$.

Да, конечно же было n+1, Вы правы .

Но, к сожалению, пока не все понимаю...
Получается, просто "отрезается" последняя координата? Было, допустим, {0,0....,n,0}, а стало {0,0,...n}?
И тогда матрица оператора будет выглядеть так же, как она выглядела бы в базисе $M^n$, но без последней строки?

[svv]

ohod в сообщении #805831 писал(а):

Получается, просто "отрезается" последняя координата? Было, допустим, {0,0....,n,0}, а стало {0,0,...n}?

Да. Только в слове «отрезается» есть какая-то искусственность. А здесь есть логика.
Образ Вашего оператора есть $M^{n-1}$. То есть каждый вектор-образ $y=\frac d{dt}x$ раскладывается по базису $M^{n-1}$ без всяких отрезаний.

Если найти $y$ сначала в $M^n$, а потом «перевести» его в $M^{n-1}$ (потому что он и в самом деле лежит в $M^{n-1}$) — то да, при этом у координат вектора-образа отрезается последняя координата, и так равная нулю.

В какой-то другой задаче базис $M^{n-1}$ мог быть другим, например, набором полиномов Лежандра или Чебышёва. Наверное, в этом случае у Вас даже вопросов меньше было бы.

ohod в сообщении #805831 писал(а):

И тогда матрица оператора будет выглядеть так же, как она выглядела бы в базисе $M^n$, но без последней строки?

Да.

Так... и что у Вас получилось?

[ohod]

svv
просто, матрица оператора $\frac {d} {dt}:M^n \to M^n$ у меня выглядит так:

0 1 0 ... 0
0 0 2 ... 0
..............
0 0 0 ... n
0 0 0 ... 0
(квадратная)

Тогда матрица оператора $\frac {d} {dt}:M^n \to M^{n-1}$ будет:

0 1 0 ... 0
0 0 2 ... 0
..............
0 0 0 ... n
(не квадратная)

Меня смущает, что у первой матрицы нижняя строчка (0...0)...

[svv]

Совершенно верно.

Здесь на форуме надо записывать формулы с помощью $\TeX$. Матрицы пишутся так:
$\begin{bmatrix}0&1&0&...&0\\0&0&2&...&0\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&n\end{bmatrix}$
Код написанной формулы увидите, наведя на нее курсор мышки. Тонкости (круглые скобки и т.д.) здесь.

То, что первый столбец нулевой, означает, что производная константы равна нулю. Компонента $c_0$ прообраза не дает вклад ни в какую компоненту образа.
То, что последняя строка нулевая (в Вашем первом варианте, $M^n\to M^n$), означает, что у результата дифференцирования коэффициент при $t^n$ равен нулю. А при разложении по базису $M^{n-1}$ такого базисного элемента нет изначально (и — ничего страшного, любой образ вполне раскладывается и по такому базису).

[ohod]

svv, спасибо Вам большое за помощь и объяснения. Стало понятнее!

А Вы не могли бы проверить еще одну мою задачу на эту же тему, пожалуйста?

Найти матрицу оператора $\frac {d} {dt}: M^n \to M^n$ в базисе $1, (t-1), \frac {1} {2!}(t-1)^2, ... , \frac {1} {n!}(t-1)^n$

У меня получилось:
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \cdots 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \cdots 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \cdots 0 \\ \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdots 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdots 0\\ \end{bmatrix}$

Т.е. 1 на диагонали, выше главной...

[ewert]

ohod в сообщении #805899 писал(а):

Т.е. 1 на диагонали, выше главной...

Разумеется. Минус единичка вообще ни на что не влияет, так что с точностью до факториалов эта задачка совпадает с предыдущей.

Вы как-то бессознательно относитесь к понятию матрицы оператора. Между тем всё очень просто: фактически по определению $a_{ik}=(A\vec e_i)_k$. Вот и надо тупо смотреть, как раскладывается вектор $A\vec e_i$ по этому же базису; в данном случае -- тривиально раскладывается.

[ohod]

ewert спасибо большое. Я только начала изучать высшую математику, и стараюсь разобраться. Спасибо большое Вам и Вашим коллегам - так разбираться намного проще! :)

[svv]

ewert в сообщении #805909 писал(а):

фактически по определению $a_{ik}=(A\vec e_i)_k$.

ewert хотел сказать $a_{ik}=(A\vec e_k)_i$.

[ewert]

svv в сообщении #805918 писал(а):

ewert в сообщении #805909 писал(а):

фактически по определению $a_{ik}=(A\vec e_i)_k$.

ewert хотел сказать $a_{ik}=(A\vec e_k)_i$.

Нет, не хотел. Но сейчас хочу.