2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Квадрат числа
Сообщение22.12.2013, 20:14 
Добрый вечер! Решал задачу, и по ходу столкнулся с этим:
Решить в натуральных числах:
$$k^2=44....41$$
Попытка решения:По мод 11 число четверок четное. Упростим:
$$k^2=40\frac{10^{n-1}-1}{9}+1$$
$$(3k)^2=40\cdot 10^{n-1}-31$$
Делаем замены $(3k)^2=x^2, 10^{n-1}=y^2$. Тогда,
$$x^2-40y^2=-31$$
Уравнение Пелля... Первое решение найти легко $(3;1)$ дальше ничего не выходит...

 
 
 
 Re: Квадрат числа
Сообщение22.12.2013, 22:18 
Решения последнего уравнения описываются рекуррентной формулой
$y_n=38y_{n-1}-y_{n-2}$
с двумя сериями решений
$\\1,28,\cdots \\
10,379,\cdots$

Если $y_k$ делится на 4, то оно делится и на 7, что невозможно при $y=10^k$

Значит единственное решение $y=10$ или число 441.

 
 
 
 Re: Квадрат числа
Сообщение22.12.2013, 22:28 
Спасибо большое Shadow !
У меня еще вопрос. Как вы нашли рекуррентную формулу... И почему 2 серии решений.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group