Квадрат числа

[DjD USB]

Добрый вечер! Решал задачу, и по ходу столкнулся с этим:
Решить в натуральных числах:

$$k^2=44....41$$

Попытка решения:По мод 11 число четверок четное. Упростим:

$$k^2=40\frac{10^{n-1}-1}{9}+1$$

$$(3k)^2=40\cdot 10^{n-1}-31$$

Делаем замены $(3k)^2=x^2, 10^{n-1}=y^2$. Тогда,

$$x^2-40y^2=-31$$

Уравнение Пелля... Первое решение найти легко $(3;1)$ дальше ничего не выходит...

[Shadow]

Решения последнего уравнения описываются рекуррентной формулой
$y_n=38y_{n-1}-y_{n-2}$
с двумя сериями решений
$\\1,28,\cdots \\ 10,379,\cdots$

Если $y_k$ делится на 4, то оно делится и на 7, что невозможно при $y=10^k$

Значит единственное решение $y=10$ или число 441.

[DjD USB]

Спасибо большое Shadow !
У меня еще вопрос. Как вы нашли рекуррентную формулу... И почему 2 серии решений.