Исследовать сходимость интеграла

[PoorFellow Tom]

$\int^1_0\arctg x\cos\frac{1}{x}x^{\alpha}$ Я исследовал на абсолютную сходимость, получилось, он абсолютно сходится, при $\alpha>-2$ Как доказать что он сходится условно , при$ -3\leqslant\alpha\leqslant-2$

[Otta]

1) Доказать, что он сходится,
2) Доказать, что он не сходится абсолютно.

Какие признаки сходимости для интегралов от знакопеременных функций Вы знаете? Вот и используйте.

(Оффтоп)

И напишите лучше так: $\int^1_0 x^{\alpha}\arctg x\cos\frac{1}{x}\, dx$

[PoorFellow Tom]

$\cos1/x$-непрерывен, имеет ограниченную первообразную, $1/x^{-\alpha}$ непрерывно дифференцируема и монотонна,следовательно $\int_0^1\frac{\cos\frac{1}{x}}{x^{-\alpha}}$ сходится по Дирихле $\arctg x$непрерывно дифференцируем, монотонен и ограничен на множестве, следовательно исходный интеграл сходится по Абелю

[provincialka]

PoorFellow Tom в сообщении #804700 писал(а):

$\cos1/x$-непрерывен, имеет ограниченную первообразную,

Разве? А не скажете, чему она равна? Или как вы ее сумели оценить?

[PoorFellow Tom]

Умножаем и делим на производную аргумента косинуса, делаем замену t , равную аргументу, получаем $- \sin t=-\sin{1/x}$ он ограничен

[Otta]

PoorFellow Tom в сообщении #804700 писал(а):

$\cos1/x$-непрерывен, имеет ограниченную первообразную,

PoorFellow Tom в сообщении #804704 писал(а):

Умножаем и делим на производную аргумента косинуса, делаем замену t , равную аргументу, получаем $- \sin t=-\sin{1/x}$ он ограничен

Так это первообразная чего получается?

[provincialka]

Функция $-\sin \frac1x$ точно не является первообразной от $\cos\frac1x$ (независимо ни от каких замен). Так что в качестве функции "имеющей ограниченную первообразную" надо взять что-то другое.

-- 22.12.2013, 17:34 --

А может быть даже сделать замену $x=1/t$ во всем интеграле.

[PoorFellow Tom]

первообразная от $-\frac{1}{x^{2}}\cos\frac{1}{x}$, вторая функция соотвественно получится $1/x^{-\alpha-2}$

[Otta]

Верно.
Нет,все-таки верно.

[PoorFellow Tom]

Рассуждения про сходимость вроде бы правильные(она получится при $\alpha>-3$)? Теперь нужно доказать, что он абсолютно не сходится при $-2\geqslant\alpha\geqslant-3$

[Otta]

PoorFellow Tom в сообщении #804717 писал(а):

Рассуждения про сходимость вроде бы правильные(она получится при $\alpha>-3$)?

Откуда это видно?

[PoorFellow Tom]

из степени икса, который $-\alpha-2<1$ должно быть чтобы сходимость была

[Otta]

PoorFellow Tom в сообщении #804725 писал(а):

из степени икса, который $-\alpha-2<1$ должно быть чтобы сходимость была

Пардон, это Вы сейчас каким признаком пользуетесь?

[PoorFellow Tom]

Ну , вроде бы в несобственных интегралах второго рода вида $\int_a^b\frac{dx}{(b-x)^{\alpha}}$ сходимость может быть только при $ \alpha<1$

[provincialka]

А у вас разве такой интеграл? Главное: он от положительной функции или от знакопеременной?