2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 14:53 
$\int^1_0\arctg x\cos\frac{1}{x}x^{\alpha}$ Я исследовал на абсолютную сходимость, получилось, он абсолютно сходится, при $\alpha>-2$ Как доказать что он сходится условно , при$ -3\leqslant\alpha\leqslant-2$

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 15:01 
1) Доказать, что он сходится,
2) Доказать, что он не сходится абсолютно. :D

Какие признаки сходимости для интегралов от знакопеременных функций Вы знаете? Вот и используйте.

(Оффтоп)

И напишите лучше так: $\int^1_0 x^{\alpha}\arctg x\cos\frac{1}{x}\, dx$

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:20 
$\cos1/x$-непрерывен, имеет ограниченную первообразную, $1/x^{-\alpha}$ непрерывно дифференцируема и монотонна,следовательно $\int_0^1\frac{\cos\frac{1}{x}}{x^{-\alpha}}$ сходится по Дирихле $\arctg x$непрерывно дифференцируем, монотонен и ограничен на множестве, следовательно исходный интеграл сходится по Абелю

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:22 
Аватара пользователя
PoorFellow Tom в сообщении #804700 писал(а):
$\cos1/x$-непрерывен, имеет ограниченную первообразную,
Разве? А не скажете, чему она равна? Или как вы ее сумели оценить?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:29 
Умножаем и делим на производную аргумента косинуса, делаем замену t , равную аргументу, получаем $- \sin t=-\sin{1/x}$ он ограничен

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:32 
PoorFellow Tom в сообщении #804700 писал(а):
$\cos1/x$-непрерывен, имеет ограниченную первообразную,

PoorFellow Tom в сообщении #804704 писал(а):
Умножаем и делим на производную аргумента косинуса, делаем замену t , равную аргументу, получаем $- \sin t=-\sin{1/x}$ он ограничен

Так это первообразная чего получается?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:33 
Аватара пользователя
Функция $-\sin \frac1x$ точно не является первообразной от $\cos\frac1x$ (независимо ни от каких замен). Так что в качестве функции "имеющей ограниченную первообразную" надо взять что-то другое.

-- 22.12.2013, 17:34 --

А может быть даже сделать замену $x=1/t$ во всем интеграле.

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:37 
первообразная от $-\frac{1}{x^{2}}\cos\frac{1}{x}$, вторая функция соотвественно получится $1/x^{-\alpha-2}$

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:38 
Верно.
Нет,все-таки верно. :mrgreen:

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:47 
Рассуждения про сходимость вроде бы правильные(она получится при $\alpha>-3$)? Теперь нужно доказать, что он абсолютно не сходится при $-2\geqslant\alpha\geqslant-3$

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:53 
PoorFellow Tom в сообщении #804717 писал(а):
Рассуждения про сходимость вроде бы правильные(она получится при $\alpha>-3$)?

Откуда это видно?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:55 
из степени икса, который $-\alpha-2<1$ должно быть чтобы сходимость была

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 16:59 
PoorFellow Tom в сообщении #804725 писал(а):
из степени икса, который $-\alpha-2<1$ должно быть чтобы сходимость была

Пардон, это Вы сейчас каким признаком пользуетесь?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 17:04 
Ну , вроде бы в несобственных интегралах второго рода вида $\int_a^b\frac{dx}{(b-x)^{\alpha}}$ сходимость может быть только при $ \alpha<1$

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость интеграла
Сообщение22.12.2013, 17:05 
Аватара пользователя
А у вас разве такой интеграл? Главное: он от положительной функции или от знакопеременной?

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group