2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Дробные части x^n
Сообщение18.12.2013, 13:13 
Пусть $|x|>1$. Известно, что $\lim \limits_{n \to \infty} \{x^n\}=a$. Верно ли, что:
1)$a=0$
2)$x$ - целое алгебраическое, причём все сопряжённые по модулю меньше 1?

 
 
 
 Re: Дробные части x^n
Сообщение18.12.2013, 14:03 
Аватара пользователя
(2) без дополнительных предположений не доказано.

 
 
 
 Re: Дробные части x^n
Сообщение18.12.2013, 14:07 
Подскажите, почему верно (1)? Известно ли хотя бы, что $x$ - (целое) алгебраическое?

 
 
 
 Re: Дробные части x^n
Сообщение18.12.2013, 17:20 
green_orange в сообщении #803066 писал(а):
Подскажите, почему верно (1)? Известно ли хотя бы, что $x$ - (целое) алгебраическое?


Такое впечатление, что (1) неверно. Кажется, что при $x=(\sqrt5+3)/2$ верно $\lim_{n\to\infty}\{x^n\}=1$.

 
 
 
 Re: Дробные части x^n
Сообщение19.12.2013, 13:40 
patzer2097 в сообщении #803116 писал(а):
Такое впечатление, что (1) неверно. Кажется, что при $x=(\sqrt5+3)/2$ верно $\lim_{n\to\infty}\{x^n\}=1$.


Здесь следует отождествить 0 с 1 (не знаю, как это строго называется). Например, при $x=1+\sqrt{2}$ степени приближаются к целым то сверху, то снизу, т. е. последовательность нечётных степеней сходится к 0, а чётных к 1.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group