В поисках неквадрата

[Ktina]

Найдётся ли такое целое число $n>1$, что число

$$2^{2^n-1}-7$$

не является квадратом ни одного целого числа?

(LII Олимпиада по математике учащихся Эстонии
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ТУР
5 марта 2005 г.
XI класс)

Мне кажется, что таких чисел бесконечно много. Действительно, при $n=4k+1$ выражение $2^{2^n-1}-7$ даёт остаток 6 при делении на 11, а значит, не может быть квадратом.

Любопытно другое:

$$2^{2^2-1}-7=1=1^2$$

$$2^{2^3-1}-7=121=11^2$$

$$2^{2^4-1}-7=32761=181^2$$

Случайно ли? И есть ли ещё квадраты среди чисел указанного вида?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #801548 писал(а):

И есть ли ещё квадраты среди чисел указанного вида?

Это нетрудно выяснить, поскольку все решения уравнения Рамануджана-Нагеля

$$ 2^m-7=x^2 $$

хорошо известны (но я их не помню ).

[Ktina]

nnosipov в сообщении #801572 писал(а):

Это нетрудно выяснить, поскольку все решения уравнения Рамануджана-Нагеля

$$ 2^m-7=x^2 $$

хорошо известны (но я их не помню ).

Спасибо!
А кому известны и откуда?

[svv]

оеис оэцп A060728 (и A076046)
Там ведь в строке поиска можно не только элементы последовательности набирать. Я набрал Ramanujan-Nagel.

[Ktina]

svv в сообщении #801580 писал(а):

оеис оэцп A060728
Там ведь в строке поиска можно не только элементы последовательности набирать. Я набрал Ramanujan-Nagel.

Спасибо!
А почему при $n>15$ нет решений?

[svv]

Ну, наверное, лучшим ответом на этот вопрос является доказательство Нагеля...

[nnosipov]

Вот здесь: Nagell T. The Diophantine equation x2 + 7 = 2n // Ark. Mat. 1961. Vol. 4. P. 185-187.