2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 В поисках неквадрата
Сообщение15.12.2013, 17:43 
Аватара пользователя
Найдётся ли такое целое число $n>1$, что число $$2^{2^n-1}-7$$
не является квадратом ни одного целого числа?

(LII Олимпиада по математике учащихся Эстонии
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ТУР
5 марта 2005 г.
XI класс)


Мне кажется, что таких чисел бесконечно много. Действительно, при $n=4k+1$ выражение $2^{2^n-1}-7$ даёт остаток 6 при делении на 11, а значит, не может быть квадратом.

Любопытно другое: $$2^{2^2-1}-7=1=1^2$$
$$2^{2^3-1}-7=121=11^2$$
$$2^{2^4-1}-7=32761=181^2$$
Случайно ли? И есть ли ещё квадраты среди чисел указанного вида?

 
 
 
 Re: В поисках неквадрата
Сообщение15.12.2013, 18:17 
Ktina в сообщении #801548 писал(а):
И есть ли ещё квадраты среди чисел указанного вида?
Это нетрудно выяснить, поскольку все решения уравнения Рамануджана-Нагеля
$$
2^m-7=x^2
$$
хорошо известны (но я их не помню :-) ).

 
 
 
 Re: В поисках неквадрата
Сообщение15.12.2013, 18:23 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #801572 писал(а):
Это нетрудно выяснить, поскольку все решения уравнения Рамануджана-Нагеля
$$
2^m-7=x^2
$$
хорошо известны (но я их не помню :-) ).

Спасибо!
А кому известны и откуда?

 
 
 
 Re: В поисках неквадрата
Сообщение15.12.2013, 18:27 
Аватара пользователя
оеис оэцп A060728 (и A076046)
Там ведь в строке поиска можно не только элементы последовательности набирать. Я набрал Ramanujan-Nagel.

 
 
 
 Re: В поисках неквадрата
Сообщение15.12.2013, 18:29 
Аватара пользователя
svv в сообщении #801580 писал(а):
оеис оэцп A060728
Там ведь в строке поиска можно не только элементы последовательности набирать. Я набрал Ramanujan-Nagel.

Спасибо!
А почему при $n>15$ нет решений? :shock:

 
 
 
 Re: В поисках неквадрата
Сообщение15.12.2013, 18:31 
Аватара пользователя
Ну, наверное, лучшим ответом на этот вопрос является доказательство Нагеля...

 
 
 
 Re: В поисках неквадрата
Сообщение15.12.2013, 18:33 
Вот здесь: Nagell T. The Diophantine equation x2 + 7 = 2n // Ark. Mat. 1961. Vol. 4. P. 185-187.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group