Исследовать интеграл на равномерную сходимость

[provincialka]

Ну, хотя бы обозначения. Какой интеграл исследуется? Как с ним связаны $f$ и $g$? И чему, соответственно, равны эти $f$ и $g$ в вашем примере?

Всякая нормальна теорема начинается с "Пусть" (или "если") и заканчивается "тогда" (или "т и тт"). А у вас просто обрывок текста. Я, конечно, догадываюсь, что имеется в виду. Но вы не должны на это рассчитывать.

[Jhon]

Я понял что Вы имели в виду - нужно доказывать равномерную ограниченность интегралов от $\sin\alpha t$, из простой ограниченности синуса это не следует, я так понимаю, что для этого и дано множество, нужно оценить снизу?

[provincialka]

Почему снизу? Сверху! Интеграл от синуса не должен быть слишком большим.

[Jhon]

Но одна вторая это же нижняя граница?

[Otta]

Jhon, хватит уже тянуть кота за хвост, please. Напишите признак Дирихле равномерной сходимости полностью, затем укажите, какую функцию Вы назначили $f$ и какую $g$, затем проверьте выполнение всех условий признака для этих функций, затем сделайте вывод. И это все в одном сообщении, желательно.

Вас уже обо всем этом просили.

provincialka в сообщении #802469 писал(а):

Почему снизу? Сверху!

Отовсюду, чо уж.

Jhon
Кстати, как выглядит условие равномерной ограниченности? Уточните.

[Jhon]

Интеграл $\int\limits_a^{\infty} f(x, \alpha) g(x, \alpha) dx$ сходится равномерно на $T$, если:
а) Интегралы $|\int\limits_a^{A} f(x, \alpha) dx|$ равномерно ограничены по $A$ и $\alpha$
б) а $g(x, \alpha)$ монотонно по $x$ и равномерно по $\alpha$ стремится к нулю, при $x \to \infty$

$\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(\alpha t)}{\sqrt{t^{2}+1}}dt$

$ f(x, \alpha)=\sin(\alpha t)$
$g(x, \alpha)=\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}$
$|\int\limits_a^{A} \sin(\alpha t) dx|=|-\frac{\cos\alpha A}{\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\alpha}|\leqslant4$(заместо альфа подставляем минимально возможное , чтобы дробь увеличилась)
$\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}$ не зависит от альфа, и стремится к нулю , следовательно сходится равномерно по Дирихле

[provincialka]

Jhon в сообщении #803261 писал(а):

$\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}$ не зависит от альфа, и стремится к нулю ,

добавьте слово "монотонно" и все будет хорошо.