2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 13:01 
Ward, это несложно, поэтому сами попробуйте. Собственно, в доказательстве нуждается лишь одно из двух утверждений (второе очевидно): если $c$ --- рациональное число, не являющееся ни 3-й, ни 5-й, ни 7-й степенью рационального числа, то $x^{105}-c$ неприводим над $\mathbb{Q}$. Для доказательства можете воспользоваться тем утверждением, что я привёл выше (нужно рассмотреть $\theta=c^{1/105} \in \mathbb{R}$).

 
 
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 13:23 
Цитата:
Утверждение: если $\theta \in \mathbb{R}$ и $n=\min{\{k:\theta^k \in \mathbb{Q}\}}$, то многочлен $x^n-c$, где $c=\theta^n$, неприводим над $\mathbb{Q}$.

Это неверно, в том же Ленге есть исключительный случай $с=-4k^4$.
Да и доказательство там совсем не простое.(конечно если не изучать предложенную там теорию).

 
 
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 13:28 
Null
Я хочу спросить откуда у Вас получается $P(x)=x^n+3P_1(x)$ и $P_1(x)$ - многочлен с целыми коэффициентами. Почему там коэффициент 3?

 
 
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 13:31 
Null в сообщении #801381 писал(а):
Это неверно
Это верно, читайте внимательно условие утверждения.

 
 
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 13:59 
nnosipov в сообщении #801355 писал(а):
Да, верно.

Спасибо :-)

Ward в сообщении #801382 писал(а):
Я хочу спросить откуда получается $P(x)=x^n+3P_1(x)$ и $P_1(x)$ - многочлен с целыми коэффициентами. Почему там коэффициент 3?

Ну, когда мы перешли к многочленам mod 3, получили $x^{105}=\tilde{P}(x)\tilde{Q}(x)$.
Отсюда $\tilde{P}(x)=x^n$, $\tilde{Q}(x)=x^{n+l}$, и $n+n+l=105$.
Ну и возвращаясь к многочленам "не mod 3", имеем $P(x)=x^n+3P_1(x)$.

 
 
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 18:04 
knwnw
Раз у Вас $x^{105}=\tilde P(x)\tilde Q(x)$ то разве отсюда следует что $\tilde P(x)=x^n$ и $\tilde Q(x)=x^{n+l}$. Почему они не могут иметь другой вид?

 
 
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 19:35 
Ward
Пусть $\tilde{P}(x)=x^n+$(члены, не делящиеся на 3), $\tilde{Q}(x)=x^{n+l}+$(члены, не делящиеся на 3).
Тогда $x^{105}=\tilde{P}(x)\tilde{Q}(x)=x^{105}+$(что-то)+(младший член, не делящийся на 3). Противоречие.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group