Частично упорядоченное множество как категория.

[ipp]

Здравствуйте!

Задали нам тут задачку, из двух частей. Рассматривается частично упорядоченное множество как категория,
то есть объекты — элементы этого множества и из $a$ в $b$ есть стрелка, если $a \leqslant b$ (понятно, что бывает не больше одной стрелки между объектами).

1) Описать явно, что значит, что в частично упорядоченном множестве есть пуллбеки (декартовы квадраты).
Получается так:
Пусть $(P,\leqslant)$ — наше частично упорядоченное множество. Тогда я говорю, что в нем есть пуллбеки, если
для любой тройки $a,b,c \in P$, такой что $a \leqslant c$ и $b \leqslant c$, существует набольшая нижняя грань $a$ и $b$ (обозначим ее $p$), то есть $p \leqslant a$, $p \leqslant b$ и для любого $q$, такого что $q \leqslant a$ и $q \leqslant b$ мы имеем $q \leqslant p$. Тут всё вроде бы понятно, однако хотелось бы уточнить, достаточно ли этого формально говоря.

Начал пытаться привести примеры частично упорядоченных множеств, в которых есть пуллбеки и в которых их нет. Ничего умнее, кроме того что "если все элементы не сравнимы, то пулбеков нет" не придумал. Для примера существования пуллбеков могу предложить вещи вида $\{0,1,2,3\}$. Подскажите, пожалуйста, а есть более "красочные" примеры для обоих случаев?

2) Пусть $P = \{t,f,x\}$ — частично упорядоченное множество с тремя элементами, такими что $t \geqslant x \leqslant f$, а $t$ и $f$ не сравнимы. Для каждого $n$ у нас есть произведение $P^n = P \times ... \times P$ ($n$ раз). Показать, что для каждого $n$, $P^n$ имеет пуллбеки.

Тут, думаю, нужно использовать индукцию. Для $n=1$ всё просто: действительно, есть два варианта:
a) $x \leqslant f, x \leqslant f$, соответственно, $x$ и является пуллбеком,
б) $x \leqslant t, x \leqslant t$, то же самое.

Теперь пусть $P^n$ имеет пуллбеки. Нужно показать, что $P^{n+1}$ также их имеет, но вот тут я заступорился, ибо не понимаю, как сравнивать наборы элементов. Скажем, для $n = 2$, как сравнить $(x,f)$ и, скажем, $(x,t)$?
Подскажите, пожалуйста, как всё-таки это доказать.

[Oleg Zubelevich]

ipp в сообщении #798991 писал(а):

Начал пытаться привести примеры частично упорядоченных множеств, в которых есть пуллбеки и в которых их нет. Ничего умнее, кроме того что "если все элементы не сравнимы, то пулбеков нет" не придумал. Для примера существования пуллбеков могу предложить вещи вида $\{0,1,2,3\}$. Подскажите, пожалуйста, а есть более "красочные" примеры для обоих случаев?

диаграммы Хассе порисуйте

[ipp]

Oleg Zubelevich в сообщении #798992 писал(а):

ipp в сообщении #798991 писал(а):

Начал пытаться привести примеры частично упорядоченных множеств, в которых есть пуллбеки и в которых их нет. Ничего умнее, кроме того что "если все элементы не сравнимы, то пулбеков нет" не придумал. Для примера существования пуллбеков могу предложить вещи вида $\{0,1,2,3\}$. Подскажите, пожалуйста, а есть более "красочные" примеры для обоих случаев?

диаграммы Хассе порисуйте

Хорошо, спасибо, сейчас попробую. Но честно говоря, больше всего интересует вторая часть вопроса. Ну и достаточно ли того критерия, что я привел в первой части.