Разрешение рекуррентных последовательностей

[frankenstein]

последовательность
$ \lbrace a_n \rbrace _ {n=0} ^ \infty $
определена рекурсивно
$ a_0 = 1 a_n = \frac{a_n} {1+na_n}, n > 0 $
Найти формулу общего члена последовательности.

Решил найти, применяя производящие функции. Но возникла проблема.
Получается вот такое вот уравнение:
$ G(x) = \sum_{i=1}^\infty \frac{a_{i-1}x^i} {1+(i-1)a_{i-1}} + 1 $
Откуда никак не могу найти производящую функцию

[Shadow]

$b_n=\frac{1}{a_n}$
Там индексы наверное $n-1$

[frankenstein]

Shadow в сообщении #798071 писал(а):

$b_n=\frac{1}{a_n}$
Там индексы наверное $n-1$

Ой, да! Ошибся!
Как я понял, вы предлагается решить методом введения новых переменных, конечно! Спасибо

-- 09.12.2013, 15:57 --

Итак,
$ b_0 = 1 b_n = \frac {(n-1)b_{n-1} + 1} {b_{n-1}}, n > 0 $
Тогда, получаем:
$ G(z) = [\sum_{i=1}^\infty (i-1+\frac{1}{b_{i-1}})z^i]+1 $
Здесь я затрудняюсь.

[Shadow]

frankenstein в сообщении #798233 писал(а):

$b_n = \frac {(n-1)b_{n-1} + 1} {b_{n-1}}, n > 0$

Я думаю, что в правой части везде вместо $b_{n-1}$ должно стоять $a_{n-1}$
Если $b_n=\frac{1}{a_n}$

[frankenstein]

Не могу понять как это поможет вычислить образующую

[Vince Diesel]

Если исходно было $a_{n}=a_{n-1}/(1+na_{n-1})$, то для $b_n=1/a_n$ все проще: $b_{n}=n+b_{n-1}$.

[frankenstein]

Vince Diesel в сообщении #798280 писал(а):

Если исходно было $a_{n}=a_{n-1}/(1+na_{n-1})$, то для $b_n=1/a_n$ все проще: $b_{n}=n+b_{n-1}$.

Вы перепутали коэффициет, там n-1

[Ms-dos4]

frankenstein
ничего существенно не меняется, всё равно уравнение $\[{b_n} = (n - 1) + {b_{n - 1}}\]$ решается элементарно, это же арифм. прогрессия

[svv]

Погодите, погодите...
Откуда взялся коэффициент $n-1$?
frankenstein, Вы сначала написали $a_n = \frac{a_n} {1+na_n}$. Вам предложили в правой части индексы изменить на $n-1$, чтобы, значит, рекуррентная формула была. И Вы коэффициент (не индекс) $n$ тоже решили заменить на $n-1$? Верните как было. А формула Vince Diesel тогда реабилитирована.

[Shadow]

Может было
$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+na_n}$
а может
$a_n=\dfrac{a_{n-1}}{1+na_{n-1}}$

в любом случае ничего существенно не меняется.