Доказательство гипотезы Биля изложу в общем виде, а затем, если потребуется для понимания, будем расписывать интересующие варианты вне доказательства.
Основания для такого подхода следующие:
1) ВТФ для

доказывается одинаково с небольшими изменениями в формулах отдельных коэффициентов и значения

,
2) более простым случаем для гипотезы Биля является не ВТФ, а гипотеза Каталана, предварительное доказательство которой упростило бы доказательство гипотезы Биля, но не является обязательным,
3) количество формул при доказательстве частного случая ВТФ точно такое же, как и общего случая гипотезы Биля,
4) само доказательство будет иметь из-за огромного количества однотипных вариантов(около 20) и общего количества (более 200) уравнений полукачественный характер и представляться в виде разбиения уравнения на варианты и подстановки последних в вспомогательные утверждения с качественными выводами.
Из 2го вспомогательного утверждения убрал фантомные иррациональности и внёс существенные дополнения. Обратите внимание на запись через кортежи в самом конце 2го вспомогательного утверждения.
План.
1] Вспомогательные утверждения.
2] Постановка задачи.
3] Доказательство.
4] Задания для самостоятельного исследования.
1] Вспомогательные утверждения.
1)Разложение полинома

, при

, где

.
Схема разложения не является сбалансированной, то есть показатели степеней последующей скобки содержат множитель, отражающий в какой-то мере структуру всех предыдущих.
Для нас упорядочение множителей в разложении по возрастающей важно.




2)Получение полинома из уравнения специального вида тремя способами.

при

,

,

,

,

,

,

,

, где

.
Получим разложение первым способом.
Сдвинем переменные левой части в степени

на функцию Эйлера.

Рассмотрим модуль

такой, что

,

,

,

,

,

,

Введём параметры.



Без сдвига это же уравнение с новыми параметрами

выглядит так

Преобразуем левую часть


Подставим сюда

и сравним с правой частью

, вынеся общий множитель за скобку.

Уберём независящую от модуля часть общего множителя и введём переменную

Используем свойство

, получаем первое разложение

Это первый полином.
С учётом условий на

этот полином будет иметь потенциальный корень

при

,

.
Подставим

.

Возьмём

и домножим до модуля

.

Введём критерий

.
Рассмотрим случай выполнения критерия. Тогда


Сравним с

.

У нас с учётом условий на

и на

.
Следовательно, при выполнении критерия

получаем противоречие и этот корень
разложения полинома

оказывается строго иррациональным.
Получим теперь второй полином. Поменяем в исходном уравнении

первое слагаемое и сумму местами.

Сдвинем переменные левой части в степени

на функцию Эйлера.

Рассмотрим модуль

такой, что

,

,

,

,

,

,

Введём параметры



Без сдвига это же уравнение с новыми параметрами

выглядит так

Преобразуем левую часть



Подставим сюда

и сравним с правой частью

, вынеся общий множитель за скобку.

Уберём независящую от модуля часть общего множителя и введём переменную


Это второй полином.
С учётом условий на

этот полином будет иметь потенциальный корень

при

,

.
Подставим

.

Возьмём

и домножим до модуля

.

Введём критерий

.
Рассмотрим случай выполнения критерия. Тогда


Сравним с

.

У нас с учётом условий на

и на

.
Следовательно, при выполнении критерия

получаем противоречие и этот корень
разложения полинома

оказывается строго иррациональным.
Получим теперь третий полином. Поменяем в исходном уравнении

второе слагаемое и сумму местами.

Сдвинем переменные левой части в степени

на функцию Эйлера.

Рассмотрим модуль

такой, что

,

,

,

,

,

,

Введём параметры



Без сдвига это же уравнение с новыми параметрами

выглядит так

Преобразуем левую часть



Подставим сюда

и сравним с правой частью

, вынеся общий множитель за скобку.

Уберём независящую от модуля часть общего множителя и введём переменную


Это третий полином.
С учётом условий на

этот полином будет иметь потенциальный корень

при

,

.
Подставим

.

Возьмём

и домножим до модуля

.

Введём критерий

.
Рассмотрим случай выполнения критерия. Тогда


Сравним с

.

У нас с учётом условий на

и на

.
Следовательно, при выполнении критерия

получаем противоречие и этот корень
разложения полинома

оказывается строго иррациональным.
Очевидно, что все три полинома

,

и

имеют одинаковую структуру, так как они получены из уравнения

только по разным частям исходного модуля

.
К тому же они имеют аналогичную

структуру.
Следовательно, если провести разложение

,

и

по

, то получим, что каждая произвольная скобка разложения одного полинома строго соотносится с похожей скобкой второго и третьего.
А так как модули разные, то возможны случаи, когда рациональный корень произвольной скобки разложения одного полинома может соответствовать иррациональному корню другого, а стало быть иррациональному корню уравнения

.
В связи с этим запишем наши три полинома

,

и

единообразно через кортежи.

при
