Период колебаний мат. маятника

[Urnwestek]

Пусть у нас есть маятник, подвешенный за нить длины $l$ и его отклонили на угол $\varphi_0$ после чего он стал качаться под действием силы тяжести. Из закона сохранения легко получить, что:

$\Delta K = \Delta U$
$ \frac{mv^2}{2} = mgh $
$ v = \sqrt{2gh} $

С другой стороны, дифференцируя по $dt$ выражение:
$ lengthArc = l \varphi$
получаем:
$ v = l \dot{\varphi}$

И из довольно простых геометрических соображений:
$ h = l(\cos \varphi - \cos \varphi_0)$
при $0 \leqslant \varphi < \varphi_0 \leqslant \pi/2$

Итого:
$\frac{d\varphi}{dt} = \sqrt{\frac{2g}{l}} \sqrt{\cos \varphi - \cos \varphi_0} $

отсюда:
$t = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int \frac{d \varphi}{\cos \varphi - \cos \varphi_0} + C$


Но как теперь подобрать константу интегрирования? Ведь получился эллиптический интеграл, а он не выражается в элементарных, поэтому просто «подставить 0» как в прочих подобных случаях не получится. Что делать дальше?

Да, забыл сказать: задача — найти период колебаний.

[_Ivana]

Что-то странное у вас. Составляете обычный гармонический диффур (из соображения малых углов синус заменяем аргументом), 2 константы находим из условия нулевой скорости и заданного угла в нулевой момент времени.

[Urnwestek]

_Ivana в сообщении #795525 писал(а):

из соображения малых углов синус заменяем аргументом

Так не интересно; была задача найти точное значение и оговорка, что в ответе будет неберущейся интеграл.

[Ms-dos4]

Urnwestek
Используйте то, что период - учетверённое время прохождения от нулевого до максимального угла. Т.е. умножаете ваш интеграл на 4 и интерируете от 0 до $\[{\varphi _0}\]$.
Получите $\[T = 4\sqrt {\frac{l}{{2g}}} \int\limits_0^{{\varphi _0}} {\frac{{d\varphi }}{{\sqrt {\cos \varphi - \cos {\varphi _0}} }}} \]$.
При желании можете привести к полному эллиптическому интегралу первого рода
$\[T = 4\sqrt {\frac{l}{g}} K(\sin \frac{{{\varphi _0}}}{2})\]$

[Urnwestek]

Ms-dos4
Спасибо! Но вот этот настолько легко выполненный переход мне не очень понятен. Почему вот это выражение $\[T = 4\sqrt {\frac{l}{{2g}}} \int\limits_0^{{\varphi _0}} {\frac{{d\varphi }}{{\sqrt {\cos \varphi - \cos {\varphi _0}} }}} \]$ верно? То есть, откуда взялась четвёрка мне понятно, не понятно, почему определенный интеграл от $0$ до $\varphi_0$ будет равняться периоду?
Я не очень внятно формулирую вопрос, но, вот, вы написали пределы интегрирования и сразу заменили $t$ на $T$, как это произошло?

[Ms-dos4]

Urnwestek
Потому что пока маятник вернётся в изначальное состояние, он четыре раза пройдёт расстояния от 0 до максимального угла. Не верите - повесьте маятник и посмотрите - сначала вы отклонили его до угла $\[{\varphi _0}\]$. Пусть до угла 0 он падает за время $\[t\]$. За такое же время он достигнет угла $\[ - {\varphi _0}\]$. Ну и в обратную сторону. Всего $\[T = 4t\]$.

[Urnwestek]

Ms-dos4 в сообщении #795533 писал(а):

Всего $\[T = 4t\]$.

пусть $T = 4T_{\frac{1}{4}}$ (t уже встречается в тексте, поэтому я заменил t из вашей цитаты на $T_{\frac{1}{4}}$) как из того, что

$t = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int \frac{d \varphi}{\cos \varphi - \cos \varphi_0} + C$
следует то, что
$T_{\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{l}{{2g}}} \int\limits_0^{{\varphi _0}} {\frac{{d\varphi }}{{\sqrt {\cos \varphi - \cos {\varphi _0}} }}}$

То есть, как из четверти периода получить полный период, мне понятно, но почему время, за которое маятник проходит от максимального угла до 0 равно именно вот такому вот определенному интегралу?

[Ms-dos4]

Urnwestek
Никаких неопределённых интегралов там вообще нет. У вас угол меняется от 0 до $\[{\varphi _0}\]$, по этому интервалу углов и интегрируем.

[мат-ламер]

Urnwestek в сообщении #795520 писал(а):

Период колебаний мат. маятника

У Вас в условии какой маятник - математический или физический?

[ewert]

Urnwestek в сообщении #795520 писал(а):

Ведь получился эллиптический интеграл, а он не выражается в элементарных,

Ну не выражается -- значить и аминь. Период и впрямь сводится к эллиптическому интегралу, а чудес -- не бывает.

-- Пн дек 02, 2013 22:54:09 --

мат-ламер в сообщении #795538 писал(а):

У Вас в условии какой маятник - математический или физический?

а какая разница (в данном-то случае)?...

[Ms-dos4]

ewert в сообщении #795542 писал(а):

а какая разница (в данном-то случае)?...

Никакой, просто $\[l\]$ будет приведённой длиной и всё.

[Urnwestek]

мат-ламер в сообщении #795538 писал(а):

У Вас в условии какой маятник - математический или физический?

Математический.

Ms-dos4 в сообщении #795537 писал(а):

Никаких неопределённых интегралов там вообще нет. У вас угол меняется от 0 до $\[{\varphi _0}\]$, по этому интервалу углов и интегрируем.

То есть интегрируем соотношение

$dt = \sqrt{\frac{l}{2g}}\frac{d \varphi}{\cos \varphi - \cos \varphi_0}$
от $0$ до $\varphi_0$
получаем
$\int\limits_0^{\varphi_0} dt = \int\limits_0^{\varphi_0} \sqrt{\frac{l}{2g}}\frac{d \varphi}{\cos \varphi - \cos \varphi_0}$
Так? Если так, то почему то, что слева, то $T_\frac{1}{4}$ ? Ведь если упростить левую часть, тобишь $\int\limits_0^{\varphi_0} dt$ то выйдет просто напросто $\varphi_0$ а не четверть периода. В чём ошибка?

ewert в сообщении #795542 писал(а):

Ну не выражается -- значить и аминь. Период и впрямь сводится к эллиптическому интегралу, а чудес -- не бывает.

Не, ну то понятно, дело не в этом, просто у меня сейчас какой-то заскок, который меня гложет и никому я его толком объяснить не могу, надеюсь, что разберусь. (:

[Ms-dos4]

Urnwestek в сообщении #795553 писал(а):

То есть интегрируем соотношение

$dt = \sqrt{\frac{l}{2g}}\frac{d \varphi}{\cos \varphi - \cos \varphi_0}$
от $0$ до $\varphi_0$
получаем
$\int\limits_0^{\varphi_0} dt = \int\limits_0^{\varphi_0} \sqrt{\frac{l}{2g}}\frac{d \varphi}{\cos \varphi - \cos \varphi_0}$
Так? Если так, то почему то, что слева, то $T_\frac{1}{4}$ ? Ведь если упростить левую часть, тобишь $\int\limits_0^{\varphi_0} dt$ то выйдет просто напросто $\varphi_0$ а не четверть периода. В чём ошибка?

Вы что написали сами поняли? У вас пределы у времени по углу что ли измеряются? Слева $\[\int\limits_0^t {dt} \]$ (ну в ваших обозначениях $\[\int\limits_0^{{T_{1/4}}} {dt} \]$)

[Urnwestek]

Ms-dos4 в сообщении #795558 писал(а):

Вы что написали сами поняли? У вас пределы у времени по углу что ли измеряются? Слева $\[\int\limits_0^t {dt} \]$ (ну в ваших обозначениях $\[\int\limits_0^{{T_{1/4}}} {dt} \]$)

Всё понятно, спасибо.

-- 02.12.2013, 22:07 --

Нет, всё же у меня некоторый диссонанс. Откуда взялась именно $T_{1/4}$? То есть, интуитивно понятно, что справа «изменяя» угол от $0$ до $\varphi_0$ время будет «изменяться» от 0 до того момента, когда маятник будет перпендикулярен земле ($T_{1/4}$). Но как это строго показать?

[мат-ламер]

Насчёт периода математического маятника http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA

-- Вт дек 03, 2013 21:23:08 --

А вот физический маятник http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA Действительно, разницы нет. Я чего-то предполагал, что математический маятник есть упрощённая версия физического.