2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Несобственный интеграл сходимость
Сообщение02.12.2013, 13:20 
$\int_{-1}^{1}\sin\frac{1-x}{1+x} (1-x^{2}) ^{\alpha}dx$
Расписал его на сумму двух $\int_{-1}^{0}f(x)+\int_{0}^{1}f(x)$, где особенные точки соответственно -1 и 1, дальше у меня получилось что первый интеграл абсолютно сходится при $\alpha>-1$, и второй сходится там же (второй-знакоположительный)
Как дальше его исследовать?(пробовал доказывать по Коши, что нет абсолютной сходимости на других участках, но не получилось, предел уходит в ноль)

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл сходимость
Сообщение02.12.2013, 13:32 
При $x=1$ во втором промежутке интегрирования синус по эквивалентности замените, $1+x$ выкиньте, останется простое выражение

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл сходимость
Сообщение02.12.2013, 13:42 
Ага, я так и сделал , когда на сходимость исследовал

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл сходимость
Сообщение02.12.2013, 13:49 
Там вроде сходимость при $\alpha>-2$

На первом промежутке при $\alpha>-1$ очевидна сходимость любая
При -1 скорее всего условно сходится и абсолютно расходится

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл сходимость
Сообщение02.12.2013, 13:54 
Вот как я делал: $x\to1$ $f(x) \leqslant(1-x^2)^{\alpha}$Правда я тут оценил синус единицей, возможно это не совсем правомерно?(из-за этого как раз ответы на единицу и различаются)

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл сходимость
Сообщение02.12.2013, 14:12 
StrMth в сообщении #795358 писал(а):
...Правда я тут оценил синус единицей, возможно это не совсем правомерно...

Замените на подсинусное выражение, оно же к нулю стремится

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл сходимость
Сообщение02.12.2013, 15:11 
Сделал , как Вы сказали, действительно , при $\alpha>-2$ сходится будет, теперь осталось доказать, что абсолютной сходимости не будет , при $\alpha\leqslant-1$

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл сходимость
Сообщение02.12.2013, 18:15 
Ваши проблемы из предыдущей темы так и будут гоняться за Вами :wink: , пока Вы за них не возьметесь. Это ж из той же оперы, как и исследовать на (абсолютную/условную) сходимость интеграл вида $\int_1^{+\infty}\frac{\cos x}{x^p}\, dx$.
Если Вам сложно воспринимать Ваш интеграл в таком виде, на худой конец, можно сделать замену аргумента синуса на новую переменную. Но это не лучший способ.

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл сходимость
Сообщение03.12.2013, 07:41 
Да, я уже позже осознал, что здесь похожая ситуация, и отсутствие абсолютной сходимости нужно будет
исследовать после обычной сходимости для альфа от минус единицы до нуля

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group