Несобственный интеграл сходимость

[StrMth]

$\int_{-1}^{1}\sin\frac{1-x}{1+x} (1-x^{2}) ^{\alpha}dx$
Расписал его на сумму двух $\int_{-1}^{0}f(x)+\int_{0}^{1}f(x)$, где особенные точки соответственно -1 и 1, дальше у меня получилось что первый интеграл абсолютно сходится при $\alpha>-1$, и второй сходится там же (второй-знакоположительный)
Как дальше его исследовать?(пробовал доказывать по Коши, что нет абсолютной сходимости на других участках, но не получилось, предел уходит в ноль)

[mihailm]

При $x=1$ во втором промежутке интегрирования синус по эквивалентности замените, $1+x$ выкиньте, останется простое выражение

[StrMth]

Ага, я так и сделал , когда на сходимость исследовал

[mihailm]

Там вроде сходимость при $\alpha>-2$

На первом промежутке при $\alpha>-1$ очевидна сходимость любая
При -1 скорее всего условно сходится и абсолютно расходится

[StrMth]

Вот как я делал: $x\to1$ $f(x) \leqslant(1-x^2)^{\alpha}$Правда я тут оценил синус единицей, возможно это не совсем правомерно?(из-за этого как раз ответы на единицу и различаются)

[mihailm]

StrMth в сообщении #795358 писал(а):

...Правда я тут оценил синус единицей, возможно это не совсем правомерно...

Замените на подсинусное выражение, оно же к нулю стремится

[StrMth]

Сделал , как Вы сказали, действительно , при $\alpha>-2$ сходится будет, теперь осталось доказать, что абсолютной сходимости не будет , при $\alpha\leqslant-1$

[Otta]

Ваши проблемы из предыдущей темы так и будут гоняться за Вами , пока Вы за них не возьметесь. Это ж из той же оперы, как и исследовать на (абсолютную/условную) сходимость интеграл вида $\int_1^{+\infty}\frac{\cos x}{x^p}\, dx$.
Если Вам сложно воспринимать Ваш интеграл в таком виде, на худой конец, можно сделать замену аргумента синуса на новую переменную. Но это не лучший способ.

[StrMth]

Да, я уже позже осознал, что здесь похожая ситуация, и отсутствие абсолютной сходимости нужно будет
исследовать после обычной сходимости для альфа от минус единицы до нуля