знакопеременный ряд

[black-tv]

Нужно исследовать на сходимость

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n}}$$

в ответе расходится, но как это доказать?

[antbez]

Расходится по признаку Лейбница, так как не выполняется условие стремления к 0 общего члена соотв. знакопостоянного ряда.

[Brukvalub]

antbez писал(а):

Расходится по признаку Лейбница, так как не выполняется условие стремления к 0 общего члена соотв. знакопостоянного ряда.

Это не совсем верное объяснение, поскольку признак Лейбница является всего лишь достаточным условием, а вот то, что общий член ряда не стремится к нулю, нарушает необходимое условие, так что ряд действительно расходится.

[black-tv]

а как доказать что этот предел равен не 0, а 1
я начала решать
$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = \lim\limits_{n \to \infty}n^\frac{1}{n} = \lim\limits_{n \to \infty}e^{lnn^\frac{1}{n}} = \lim\limits_{n \to \infty}e^{\frac{1}{n}lnn} =$
как дальше не знаю.
Мне сказали, что это как-то по Лопиталю решается

[Brukvalub]

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\ln n}}{n} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(\ln x)'}}{{(x)'}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow \]

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } e^{\frac{{\ln n}}{n}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\ln n}}{n}} = e^0 = 1 \]

[black-tv]

БОЛЬШОЕ спасибо

[bot]

black-tv писал(а):

Мне сказали, что это как-то по Лопиталю решается

Вообще-то этот замечательный предел считается задолго до того, как появляется правило Лопиталя,
когда ещё не только производных нет, но даже и предела функции. Есть только предел
последовательности.

Делается это с помощью бинома. Положим
(1) $\sqrt[n]{n}=1+x_n, n\ge 2$
Достаточно доказать, что $\lim x_n=0$
Возведём (1) в степень n и правую часть раскроем по биному:
$n=(1+x_n)^n = 1 + C_n^1 x_n + C_n^2 x_n^2 + ...$
Все слагаемые в правой части положительны, так как очевидно $x_n>0$.
Выбросив все слагаемые кроме третьего, получим:
$n>C_n^2 x_n^2=\frac{n(n-1)}{2}x_n^2$, откуда после сокращения на n имеем:
$1>\frac{n-1}{2}x_n^2$ или $x_n^2 < \frac{2}{n-1}$

[antbez]

Цитата:

antbez писал:
Расходится по признаку Лейбница, так как не выполняется условие стремления к 0 общего члена соотв. знакопостоянного ряда.
Это не совсем верное объяснение, поскольку признак Лейбница является всего лишь достаточным условием, а вот то, что общий член ряда не стремится к нулю, нарушает необходимое условие, так что ряд действительно расходится.

Если нарушается одно из достаточных условий сходимости, это разве не свидетельствует о расходимости? Конечно, руководствоваться необходимым признаком часто легче.

[Someone]

antbez писал(а):

Если нарушается одно из достаточных условий сходимости, это разве не свидетельствует о расходимости?

Нет, если это условие не является также и необходимым.

[Brukvalub]

antbez писал(а):

Если нарушается одно из достаточных условий сходимости, это разве не свидетельствует о расходимости?

Нет, не свидетельствует. Вот достаточное условие сходимости ряда: ряд

\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n }\]

сходится если

\[0 \le a_n < \frac{1}{{n!}}\]

. Ряд

\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n^2 }}}\]

этому условию не удовлетворяет, но, тем не менее, сходится.

[antbez]

Меня немного удивил приведённый Вами пример. Факториал же возрастает быстрее любой степени, начиная с некоторого n, так что признак сравнения тут действует. По поводу знакопеременного ряда: заглянул в Маркушевича: он пишет, что все 3 условия признака Лейбница являются существенными в том смысле, что невыполнение хотя бы одного из них ведёт к расходимости. По-моему, с такой оговоркой это- аналог необходимости.

[Brukvalub]

antbez писал(а):

заглянул в Маркушевича: он пишет, что все 3 условия признака Лейбница являются существенными в том смысле, что невыполнение хотя бы одного из них ведёт к расходимости.

Это-ж как нужно было заглянуть в Маркушевича, чтобы прочесть такую ерунду! Элементарно строятся примеры сходящихся рядов, нарушающие знакопеременность или монотонность, а также то и другое одновременно. Существенно только стремление общего члена ряда к 0.

[antbez]

Почитайте Маркушевича внимательнее! Там есть примеры на этот счёт. Скажем, такой ряд: 1-1/2+1/2-1/4+1/3-1/6+... Из-за чего он расходится?
P.S. Ваши примеры не всегда верны: например, с рядом 1/n!

[Brukvalub]

antbez писал(а):

Почитайте Маркушевича внимательнее! Там есть примеры на этот счёт. Скажем, такой ряд: 1-1/2+1/2-1/4+1/3-1/6+... Из-за чего он расходится?

Это Вы почитайте Маркушевича повнимательнее. В нем утверждается, что невыполнение хотя бы одного условия в признаке Лейбница может приводить к расходимости, Вы же там узрели:

antbez писал(а):

невыполнение хотя бы одного из них ведёт к расходимости.

В общем, Вам нужно основательно поработать с логикой.

antbez писал(а):

P.S. Ваши примеры не всегда верны: например, с рядом 1/n!

Что же неверно в этом моем примере? Я уверен, пример верен.

[antbez]

Вы писали что, существенно только стремление общего члена ряда к 0. Я сослался на Маркушевича и показал, что это не так, причём я привёл в пример конкретный ряд! Но Вас это сильно задело(так же как и с рядом 1/n!), Вы начинали мне грубить, а поскольку Вы в отличие от меня являетесь постоянным участником этого форума, то, наверное, уверены в том, что Вам это позволено!

Добавлено спустя 2 минуты 33 секунды:

Увидел, что Вы дописали о ряде 1/n!. Пусть другие участники форума выскажутся на этот счёт...