знакопеременный ряд

[Brukvalub]

antbez писал(а):

Вы писали что, существенно только стремление общего члена ряда к 0. Я сослался на Маркушевича и показал, что это не так, причём я привёл в пример конкретный ряд!

Да, я и сейчас утверждаю, что существенно только стремление общего члена ряда к 0, остальные условия могут нарушаться, а ряд, тем не менее, может быть сходящимся. Вы привели пример расходящегося ряда, но не доказали, что нарушение условий всегда приводит к расходимости (впрочем, и не пытайтесь это доказать - сие невозможно).

antbez писал(а):

Вы начинали мне грубить, а поскольку Вы в отличие от меня являетесь постоянным участником этого форума, то, наверное, уверены в том, что Вам это позволено!

Укажите пример моей грубости, я ведь тоже могу выдвинуть разные голословные обвинения в Ваш адрес.

antbez писал(а):

Увидел, что Вы дописали о ряде 1/n!. Пусть другие участники форума выскажутся на этот счёт...

правила хорошего тона говорят: сказав об ошибке другого участника Форума, хорошо бы после его просьбы не прятаться за спины других участников Форума, а самому разъяснить суть ошибки, или открыто признать свою неправоту.

[antbez]

Попытаюсь разъяснить суть ошибки. Очевидно, n! возрастает быстрее n^2, начиная с n=4, тогда 1/n^2<1/n!. Ряд 1/n! сходится(по признаку Даламбера). Положительность обоих рядов очевидна. Ряды являются сравнимыми, и из сходимости 1/n! вытекает сходимость ряда 1/n^2.
Вы же написали:

Цитата:

ряд сходится если . Ряд этому условию не удовлетворяет, но, тем не менее, сходится.

Понятно, что сходимость ряда 1/n^2 можно доказать и по-другому, но и так, думаю, не ошибочно.

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

Не скопировались у меня математические символы, но Вы-то понимаете, о чём речь.
А за чьими-то спинами я не прячусь- просто полагаю, что беседа с большим количеством участников интереснее, а иногда и продуктивнее.

[Brukvalub]

antbez писал(а):

но и так, думаю, не ошибочно.

Ошибочно, и вот где:

antbez писал(а):

Очевидно, n! возрастает быстрее n^2, начиная с n=4, тогда 1/n^2<1/n!.

Наоборот,

\[n^2 < n! \Rightarrow \frac{1}{{n^2 }} > \frac{1}{{n!}}\]

Ну вот, кажись с моим примером сами и разобрались. Теперь хотелось бы разобраться и с остальным: не могли бы Вы привести примеры моей грубости в общении с Вами, или же снять свои неаргументированные обвинения? Хотелось бы также понять, как все-таки быть с достаточными признаками сходимости рядов: действительно ли их невыполнение всегда влечет расходимость ряда, или - нет?

[antbez]

Согласен, умудрился не обратить внимания на знак!!! Насчёт грубости- обсуждать не стоит(это- субъективно), если мне что-то показалось- то ладно, может, и тут я ошибся...
Теперь о признаках: ответ на поставленный Вами вопрос- нет.

[Brukvalub]

НУ вот, со всеми вопросами разобрались, спасибо за сотрудничество. А про то, что я - постоянный участник Форума, а Вы - пока еще - нет, так ничто не мешает и Вам стать постоянным участником. Присоединяйтесь, Форум открыт для всех, кто чтит его правила!

[незваный гость]

Люди! давайте жить дружно!

antbez: я думаю, что Brukvalub имел в виду, что только стремление к нулю члена ряда является необходимым. Все остальные условия — достаточные (в совокупности), но не необходимые для сходимости.

Мне лень искать Маркушевича, но по существу Brukvalub прав. Ни знакоперепенность, ни монотонность (по абсолютной величине) не являются необходимыми. А ссылки на авторитеты (в частности, на Маркушевича) в математике ничего не доказывают.

Ваша логика некорректна в том месте, где М. говорит о необходимости всех трех условий. При нарушении любого из первых двух существуют несходящиеся ряды. Но существуют и сходящиеся ряды, нарушающие любое условие, кроме стремления к нулю. Т.е. признак Лейбница — строго достаточный.

Кстати, Ваш пример ряда не в тему. Brukvalub никогда не утверждал, что от какого-либо условия можно отказаться. Он утверждал, что отказ от условия не влечет расходимости. И разница этих двух утверждений — вопрос действительно логики.

P.S. Пока писал — сколько сообщений утекло