2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 09:48 


05/12/11
245
Имеется ввиду -- по виду функции быстро и обоснованно.

1) $f(x)=\dfrac{x^3+2}{x^2}$

2) $f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2+3}$

Понимаю, что можно сразу сказать, что периода и у первой функции нет, у второй -- нет. Это очевидно. Но как лаконично можно обосновать?
Да, можно начать выписывать так $f(x+T)=f(x)$

$\dfrac{x^3+2}{x^2}=\dfrac{(x+T)^3+2}{(x+T)^2}$

Ну итп (это нудно и долго)... А есть ли альтернатива?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 09:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Например, так как функции начиная с некоторого момента монотонны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 10:27 


05/12/11
245
SpBTimes в сообщении #794445 писал(а):
Например, так как функции начиная с некоторого момента монотонны.

А я слышал, что можно сделать какие-то трюки с областью определения, но вот как именно они проворачивались -- не понятно(

Что-то в таком стиле $x+T=2\in D(y); x=2-T \notin D(y)\Rightarrow...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 10:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
У каждой из Ваших функций конечное число корней. То есть существует значение, которое функция принимает конечное число раз. Периодическая функция каждое значение принимает бесконечное число раз. Это необходимый, но не достаточный признак. Как и упомянутая немонотонность, кстати. У первой ещё и точка разрыва всего одна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 10:45 


05/12/11
245
gris в сообщении #794457 писал(а):
У каждой из Ваших функций конечное число корней. То есть существует значение, которое функция принимает конечное число раз. Периодическая функция каждое значение принимает бесконечное число раз. Это необходимый, но не достаточный признак. Как и упомянутая немонотонность, кстати. У первой ещё и точка разрыва всего одна.

Спасибо! Понятно, а как это можно формализовать с помощью математической записи символами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 11:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Словами так: пусть существует такое значение $y_0$, которое функция принимает конечное число раз. Возьмём максимальное значение аргумента для этого значения функции — $x_0$. То есть $\forall x>x_0 \; f(x)\ne f(x_0)$, что противоречит существованию периода, то есть периодичности функции.
Конечно, можно и целиком записать формально, но главное же суть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 11:51 


05/12/11
245
gris в сообщении #794468 писал(а):
Словами так: пусть существует такое значение $y_0$, которое функция принимает конечное число раз. Возьмём максимальное значение аргумента для этого значения функции — $x_0$. То есть $\forall x>x_0 \; f(x)\ne f(x_0)$, что противоречит существованию периода, то есть периодичности функции.
Конечно, можно и целиком записать формально, но главное же суть.

Спасибо, понятно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань

(Оффтоп)

:D Да очень просто можно определить. Если нет синусов, косинусов, дробной или целой части - значит, точно не периодическая. Какие еще функции могут период давать? Шучу, шучу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429

(Оффтоп)

provincialka, вот так отвечают школьники на вопрос о периодичности тождественного нуля: — Нету синусов, значит непериодическая :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань

(Оффтоп)

gris
, а если кроме шуток, действительно, кроме константы, никакая рациональная функция не может быть периодической. И экспоненты с логарифмами тут тоже не спасут

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение30.11.2013, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Функция Дирихле. А, рациональная... Ну так возьмём кусочно-рациональную.
Ну, вообще-то, согласен. Просто мне показалось, что требуется именно обосновать непериодичность, а не просто заметить.
Мало-ли чего преподавателю захочется? Сами, наверное, грешили дотошностью :-)

Кстати, некоторые студенты (особенно "одни") иногда думают, что наличие тригонометрии гарантирует периодичность. — Но тут же синус!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение01.12.2013, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
gris, конечно, требуется обосновать. И приведенное обоснование легко распространяется на отношение многочленов.
Вот с логарифмами и эксплнентами я не так уверена, хотя интуитивно кажется, что и их композиции не периодичны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение01.12.2013, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
provincialka в сообщении #794749 писал(а):
Вот с логарифмами и эксплнентами я не так уверена, хотя интуитивно кажется, что и их композиции не периодичны.
Достаточно известен такой факт: функции, полученные с помощью арифметических операций и композиции из многочленов, экспонент и логарифмов имеют предел либо стремятся к бесконечности определенного знака на бесконечности. Доказывается индукцией по глубине формулы. Так что если такая функция не является константой в окрестности бесконечности, то она не периодична.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как определить периодичность "слету"?
Сообщение01.12.2013, 01:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Xaositect, спасибо! Сомнения окончательно развеялись!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group