Уравнение пятой степени

[sopor]

Рассмотрим уравнение $x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1=0$. Его группа Галуа - циклическая порядка 5. Оно решается в радикалах, но как это решение найти?

[Aritaborian]

Вы бы написали, каково оно, решение в радикалах. Или это страшная тайна?

[sopor]

Дак решения-то я и не знаю
Как раз это я и хочу выяснить
Я знаю только, что в радикалах оно точно решается

[Aritaborian]

Это вам нашептал невидимый розовый единорог?

[provincialka]

Там свободный член точно единица? Не двойка? Впрочем, в последнем случае решение было бы тривиальным.

[sopor]

Точно 1, иначе я бы не спрашивал, т.к там просто корень единица был бы.
А насчет разрешимости - Maple сообщил, что группа Галуа - циклическая порядка 5, стало быть оно разрешимо, и причем решение как-то можно выразить через косинусы.

[Aritaborian]

То есть невидимый розовый единорог Мэйпл сообщил вам, что решение как-то можно выразить через косинусы, но, сволочь такая, умолчал о том, как именно?

[Urnwestek]

Aritaborian
Я не понимаю вашего сарказма, то, что данное уравнение разрешимо в радикалах — прямое следствие основной теоремы теории Галуа.

[Nemiroff]

Aritaborian в сообщении #794069 писал(а):

То есть невидимый розовый единорог Мэйпл сообщил вам, что решение как-то можно выразить через косинусы, но, сволочь такая, умолчал о том, как именно?

Ну если Мапл умеет находить группу Галуа многочлена, то да, вполне вероятно, так и произошло. Mathematica, кажется, не умеет.

[Nemiroff]

Если вас не пугают очень длинные формулы, гляньте в статью "Solving quintics by radicals", Daniel Lazard. Там приводится алгоритм.

[fedd]

Тут так. Если сумеете решить систему

$a+c=1$
$b+ac+d=-4$
$bc+ad+f=-3$
$bd+af=3$
$bf=1$

То найдете

$(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+f)=0$

Я решал систему и запутался...

Но Мапл дает решение в радикалах по команде

convert({solve(x^5+x^4-4*x^3-3*x^2+3*x+1 = 0, x)}, 'radical')

Первый корень таков



Неужели понравится?

[Aritaborian]

Ну всё, добили вы меня коллективными усилиями. Почти убедили, что Mathematica может не всё. Но только почти.

[fedd]

Разве Mathematica слабее Мапл? Что-то я не слышал такого. Скорее Вы не все команды освоили.

[sopor]

Всем большое спасибо. Как оказалось, корни этого уравнения суть просто $2\cos(\frac{2\pi k}{11})$

[VAL]

fedd в сообщении #794107 писал(а):

Разве Mathematica слабее Мапл? Что-то я не слышал такого.

Как у вас все просто!
Надо сравнивать не по одной задаче, а по совокупности возможностей.
Например, Maple (по крайней мере, моя старенькая, но, зато лицензионная версия) умеет находить группу Галуа полинома над $\mathbb Q$ до девятой степени. А PARI аж до двенадцатой (по слухам).
В свою очередь, PARI в принципе не решает целые классы задач, с которыми справляется Maple.
Так что вопрос "что круче?", как минимум, неоднозначен, а то и риторичен.