Линейная алгебра

[karandash_oleg]

Здравствуйте! Возникли вопросы по 2 задачам!

1) Вычислить значение функции, если $f(A)=\sin\dfrac{\pi}{6}A$

$A=\begin{pmatrix} 1& -2&2 \\ -2& 1 &-2 \\ -2& 2&-3\\ \end{pmatrix}$

Тут возник вопрос -- что имеется ввиду

а) $f(A)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)A$

b) $f(A)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}A\right)$

Если вариант a) , то все очевидно!

$f(A)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)A=0,5\cdot \begin{pmatrix} 1& -2&2 \\ -2& 1 &-2 \\ -2& 2&-3\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,5& -1&1 \\ -1& 0,5 &-1 \\ -1& 1&-1,5\\ \end{pmatrix}$

Если вариант b) -- то не знаю -- как подступиться... С чего начать?

2) Найти такую матрицу $S$, что матрица $S^{-1}AS$ диагональна, и эту диагональную матрицу.

$A=\begin{pmatrix} 3& -2&-1 \\ 4& -3 &-1 \\ 4& -2&-2\\ \end{pmatrix}$

Слышал, что здесь как-то это связано с собственными числами, потому нашел их $\lambda_1=\lambda_2=-1;\;\lambda_3=0$

А что еще тут нужно сделать, от чего отталкиваться?

[AV_77]

Ряд для синуса нужен. В него уже эту $A$ и подставлять.

[mihailm]

Ряд то пока лучше оставить в покое)
А начать решение 1) лучше с 2), точнее, сделать для матрицу из 1) то что нужно в 2)
К собственным числам найдите собственные вектора и поставьте их (вектора) в матрицу - по столбцам

[karandash_oleg]

mihailm в сообщении #793930 писал(а):

А начать решение 1) лучше с 2), точнее, сделать для матрицу из 1) то что нужно в 2)

Что-то эту строчку вообще не понял...

-- 28.11.2013, 21:43 --

mihailm в сообщении #793930 писал(а):

К собственным числам найдите собственные вектора и поставьте их (вектора) в матрицу - по столбцам

И эта матрица будет $S$? А матрица $S^{-1}AS$ -- это матрица, где на диагонали собственные числа, а остальное -- нули?

-- 28.11.2013, 21:44 --

AV_77 в сообщении #793926 писал(а):

Ряд для синуса нужен. В него уже эту $A$ и подставлять.

Ряд маклорена? А до какой степени? Скорее всего имеется ввиду вариант a) или b) ?

[SpBTimes]

Если ряд - то целиком. Что значит до какого порядка?
А вообще, приведите к Жордановой форме, а потом обратно

[karandash_oleg]

SpBTimes в сообщении #793937 писал(а):

Если ряд - то целиком. Что значит до какого порядка?
А вообще, приведите к Жордановой форме, а потом обратно

оО Не знаю -- как приводить к Жордановой форме... А это обязательно?

-- 28.11.2013, 21:57 --

Вот так?

$$f(A)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}A\right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{\begin{pmatrix} 1& -2&2 \\ -2& 1 &-2 \\ -2& 2&-3\\ \end{pmatrix}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

[Slow]

Вообще судя по всему обе задачи напрямую связаны с Жордановой формой матрицы: функции от матрицы находятся через Жорданову форму, а по второй задаче: матрица S это будет обратная матрица состоящая из собственных векторов, а на диагонали диагональной матрицы будут стоять собственные числа(но нужно проверить что она будет диагональной)

[SpBTimes]

Ну ряд написан неверно. Но идея примерно такая. Только вам надо научиться вычислять степень мтарицы

[AV_77]

В принципе, можно попробовать ограничиться характеристическим многочленом.

[karandash_oleg]

2) $A=\begin{pmatrix} 3& -2&-1 \\ 4& -3 &-1 \\ 4& -2&-2\\ \end{pmatrix}$

Если такие получаются вектора, то верно ли составлена матрица $S$?

Для $\lambda_1=-1$ собственный вектор $x_1=(1;0;4)$

Для $\lambda_2=-1$ собственный вектор $x_2=(1;2;0)$

Для $\lambda_3=0$ собственный вектор $x_3=(1;1;1)$

$S=\begin{pmatrix} 1& 1&1 \\ 0& 2 &1 \\ 4& 0&1\\ \end{pmatrix}$

$S^{-1}AS=\begin{pmatrix} -1& 0&0 \\ 0& -1 &0 \\ 0& 0&0\\ \end{pmatrix}$

-- 28.11.2013, 22:34 --

AV_77 в сообщении #793946 писал(а):

В принципе, можно попробовать ограничиться характеристическим многочленом.

А как -- подскажите, пожалуйста!!

[AV_77]

karandash_oleg в сообщении #793977 писал(а):

По теореме Гамильтона — Кэли?

У вас жорданова форма очень хорошая получилась, так что ее используйте.

[karandash_oleg]

Slow в сообщении #793942 писал(а):

Вообще судя по всему обе задачи напрямую связаны с Жордановой формой матрицы: функции от матрицы находятся через Жорданову форму, а по второй задаче: матрица S это будет обратная матрица состоящая из собственных векторов, а на диагонали диагональной матрицы будут стоять собственные числа(но нужно проверить что она будет диагональной)

А как функции от матрицы находятся через жорданову форму?

-- 28.11.2013, 22:46 --

AV_77 в сообщении #793985 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #793977 писал(а):

По теореме Гамильтона — Кэли?

У вас жорданова форма очень хорошая получилась, так что ее используйте.

Это вот это жорданова форма?

$S^{-1}AS=\begin{pmatrix} -1& 0&0 \\ 0& -1 &0 \\ 0& 0&0\\ \end{pmatrix}$

А как ее использовать и для чего?

-- 28.11.2013, 22:54 --

1)

$A=\begin{pmatrix} 1& -2&2 \\ -2& 1 &-2 \\ -2& 2&-3\\ \end{pmatrix}$


Для $\lambda_1=-1$ собственный вектор $x_1=(-1;0;1)$

Для $\lambda_2=-1$ собственный вектор $x_2=(1;1;0)$

Для $\lambda_3=1$ собственный вектор $x_3=(-1;1;1)$

$S=\begin{pmatrix} -1& 1&-1 \\ 0& 1 &1 \\ 1& 0&1\\ \end{pmatrix}$

$S^{-1}AS=\begin{pmatrix} -1& 0&0 \\ 0& -1 &0 \\ 0& 0&0\\ \end{pmatrix}$

[mihailm]

Далее выразите матрицу $A$ из последнего равенства

[karandash_oleg]

mihailm в сообщении #794013 писал(а):

Далее выразите матрицу $A$ из последнего равенства

Пусть $B=S^{-1}AS \Rightarrow SB=SS^{-1}AS =AS \Rightarrow A=ASS^{-1}=SBS^{-1}$

Вот так?

[Slow]

Возьмите функцию от Жордановой формы, а затем домножите на $S$ слева и $ S^{-1}$ справа.