2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 21:25 
Здравствуйте! Возникли вопросы по 2 задачам!

1) Вычислить значение функции, если $f(A)=\sin\dfrac{\pi}{6}A$

$A=\begin{pmatrix}
 1&  -2&2 \\ 
 -2& 1 &-2 \\ 
 -2&  2&-3\\ 
\end{pmatrix}$

Тут возник вопрос -- что имеется ввиду

а) $f(A)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)A$

b) $f(A)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}A\right)$

Если вариант a) , то все очевидно!

$f(A)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)A=0,5\cdot \begin{pmatrix}
 1&  -2&2 \\ 
 -2& 1 &-2 \\ 
 -2&  2&-3\\ 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 0,5&  -1&1 \\ 
 -1& 0,5 &-1 \\ 
 -1&  1&-1,5\\ 
\end{pmatrix}$

Если вариант b) -- то не знаю -- как подступиться... С чего начать?

2) Найти такую матрицу $S$, что матрица $S^{-1}AS$ диагональна, и эту диагональную матрицу.

$A=\begin{pmatrix}
 3&  -2&-1 \\ 
 4& -3 &-1 \\ 
 4&  -2&-2\\ 
\end{pmatrix}$

Слышал, что здесь как-то это связано с собственными числами, потому нашел их $\lambda_1=\lambda_2=-1;\;\lambda_3=0$

А что еще тут нужно сделать, от чего отталкиваться?

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 21:27 
Ряд для синуса нужен. В него уже эту $A$ и подставлять.

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 21:36 
Ряд то пока лучше оставить в покое)
А начать решение 1) лучше с 2), точнее, сделать для матрицу из 1) то что нужно в 2)
К собственным числам найдите собственные вектора и поставьте их (вектора) в матрицу - по столбцам

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 21:41 
mihailm в сообщении #793930 писал(а):
А начать решение 1) лучше с 2), точнее, сделать для матрицу из 1) то что нужно в 2)

Что-то эту строчку вообще не понял...

-- 28.11.2013, 21:43 --

mihailm в сообщении #793930 писал(а):
К собственным числам найдите собственные вектора и поставьте их (вектора) в матрицу - по столбцам


И эта матрица будет $S$? А матрица $S^{-1}AS$ -- это матрица, где на диагонали собственные числа, а остальное -- нули?

-- 28.11.2013, 21:44 --

AV_77 в сообщении #793926 писал(а):
Ряд для синуса нужен. В него уже эту $A$ и подставлять.

Ряд маклорена? А до какой степени? Скорее всего имеется ввиду вариант a) или b) ?

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 21:50 
Аватара пользователя
Если ряд - то целиком. Что значит до какого порядка?
А вообще, приведите к Жордановой форме, а потом обратно

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 21:54 
SpBTimes в сообщении #793937 писал(а):
Если ряд - то целиком. Что значит до какого порядка?
А вообще, приведите к Жордановой форме, а потом обратно

оО Не знаю -- как приводить к Жордановой форме... А это обязательно?

-- 28.11.2013, 21:57 --

Вот так?

$$f(A)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}A\right)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{\begin{pmatrix}
 1&  -2&2 \\ 
 -2& 1 &-2 \\ 
 -2&  2&-3\\ 
\end{pmatrix}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 22:06 
Вообще судя по всему обе задачи напрямую связаны с Жордановой формой матрицы: функции от матрицы находятся через Жорданову форму, а по второй задаче: матрица S это будет обратная матрица состоящая из собственных векторов, а на диагонали диагональной матрицы будут стоять собственные числа(но нужно проверить что она будет диагональной)

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 22:07 
Аватара пользователя
Ну ряд написан неверно. Но идея примерно такая. Только вам надо научиться вычислять степень мтарицы

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 22:07 
В принципе, можно попробовать ограничиться характеристическим многочленом.

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 22:31 
2) $A=\begin{pmatrix}
 3&  -2&-1 \\ 
 4& -3 &-1 \\ 
 4&  -2&-2\\ 
\end{pmatrix}$

Если такие получаются вектора, то верно ли составлена матрица $S$?

Для $\lambda_1=-1$ собственный вектор $x_1=(1;0;4)$

Для $\lambda_2=-1$ собственный вектор $x_2=(1;2;0)$

Для $\lambda_3=0$ собственный вектор $x_3=(1;1;1)$

$S=\begin{pmatrix}
 1&  1&1 \\ 
 0& 2 &1 \\ 
 4&  0&1\\ 
\end{pmatrix}$

$S^{-1}AS=\begin{pmatrix}
 -1&  0&0 \\ 
 0& -1 &0 \\ 
 0&  0&0\\ 
\end{pmatrix}$

-- 28.11.2013, 22:34 --

AV_77 в сообщении #793946 писал(а):
В принципе, можно попробовать ограничиться характеристическим многочленом.

А как -- подскажите, пожалуйста!!

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 22:38 
karandash_oleg в сообщении #793977 писал(а):
По теореме Гамильтона — Кэли?

У вас жорданова форма очень хорошая получилась, так что ее используйте.

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 22:46 
Slow в сообщении #793942 писал(а):
Вообще судя по всему обе задачи напрямую связаны с Жордановой формой матрицы: функции от матрицы находятся через Жорданову форму, а по второй задаче: матрица S это будет обратная матрица состоящая из собственных векторов, а на диагонали диагональной матрицы будут стоять собственные числа(но нужно проверить что она будет диагональной)

А как функции от матрицы находятся через жорданову форму?

-- 28.11.2013, 22:46 --

AV_77 в сообщении #793985 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #793977 писал(а):
По теореме Гамильтона — Кэли?

У вас жорданова форма очень хорошая получилась, так что ее используйте.


Это вот это жорданова форма?

$S^{-1}AS=\begin{pmatrix}
 -1&  0&0 \\ 
 0& -1 &0 \\ 
 0&  0&0\\ 
\end{pmatrix}$

А как ее использовать и для чего?

-- 28.11.2013, 22:54 --

1)

$A=\begin{pmatrix}
 1&  -2&2 \\ 
 -2& 1 &-2 \\ 
 -2&  2&-3\\ 
\end{pmatrix}$


Для $\lambda_1=-1$ собственный вектор $x_1=(-1;0;1)$

Для $\lambda_2=-1$ собственный вектор $x_2=(1;1;0)$

Для $\lambda_3=1$ собственный вектор $x_3=(-1;1;1)$

$S=\begin{pmatrix}
 -1&  1&-1 \\ 
 0& 1 &1 \\ 
 1&  0&1\\ 
\end{pmatrix}$

$S^{-1}AS=\begin{pmatrix}
 -1&  0&0 \\ 
 0& -1 &0 \\ 
 0&  0&0\\ 
\end{pmatrix}$

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 22:57 
Далее выразите матрицу $A$ из последнего равенства

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 23:01 
mihailm в сообщении #794013 писал(а):
Далее выразите матрицу $A$ из последнего равенства

Пусть $B=S^{-1}AS \Rightarrow SB=SS^{-1}AS =AS \Rightarrow  A=ASS^{-1}=SBS^{-1}$

Вот так?

 
 
 
 Re: Линейная алгебра
Сообщение28.11.2013, 23:04 
Возьмите функцию от Жордановой формы, а затем домножите на $S$ слева и $ S^{-1}$ справа.

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group