Дифференциальное уравнение второго порядка

[Rostislav1]

Добрый день, помогите пожалуйста разобраться с решением дифференциального уравнения.
$\[\begin{gathered} y'{'^4} = y{'^5} - yy{'^3}y'' \hfill \\ y' = z;y'' = zz' \hfill \\ {z^4}z{'^4} = {z^5} - y{z^4}z' \hfill \\ z{'^4} = z - yz' \hfill \\ z' = p \hfill \\ {p^4} = z - py \hfill \\ z = {p^4} + py \hfill \\ dz = pdy + (4{p^3} + y)dp \hfill \\ dy = dy + (4{p^2} + \frac{y}{p})dp \hfill \\ \end{gathered} \]$
1)
$\[\begin{gathered} dp = 0 \hfill \\ p = c \hfill \\ z = {c^4} + cy \hfill \\ \end{gathered} \]$
2)
$\[\begin{gathered} 4{p^2} + \frac{y}{p} = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} y = - 4{p^3} \hfill \\ z = - 3{p^4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]$
Верно ли все это? Если да,то я не понимаю, что делать дальше. Каким образом делать обратную замену?

[SpBTimes]

Так вы в пункте 2 обратно перейдите и проинтегрируйте.

[Rostislav1]

А что делать с пунктом 1 ?

Не совсем понимаю, как перейти обратно и проинтегрировать.
как-то так?
$\[\begin{gathered} y = - 4z{'^3} \hfill \\ z = - \sqrt[3]{4}{y^{\frac{4}{3}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$

[SpBTimes]

Да, так.
В пункте 1 тоже вернитесь назад и интегрируйте.

[Rostislav1]

из 2-го пункта получаем
$\[x = \frac{1}{{3*\sqrt[3]{{4y}}}} + c\]$
а из 1-го
$\[x = \frac{{\ln ({c_1}^4 + cy)}}{{{c_1}}} + {c_2}\]$
А так же, частное решение $\[y = 0\]$
Верно ли это?И все ли частные решения я учел?

[Someone]

Rostislav1 в сообщении #792151 писал(а):

$\[\begin{gathered}y'{'^4} = y{'^5} - yy{'^3}y'' \hfill \\y' = z;y'' = zz' \hfill \end{gathered} \]$

А у Вас штрих что обозначает? Я догадываюсь, что производную, но по какой переменной?

[Rostislav1]

Цитата:

А у Вас штрих что обозначает? Я догадываюсь, что производную, но по какой переменной?

$\[z' = \frac{{dz}}{{dy}},y' = \frac{{dy}}{{dx}}\]$

[Someone]

А как потом отличить одно от другого?

[Rostislav1]

Цитата:

А как потом отличить одно от другого?

Что-то я не понял, что от чего отличать? $\[z'\]$ - всегда производная от $\[z\]$ по $\[y\]$, а $\[y'\]$ - всегда производная $\[y\]$ по $\[x\]$

[Someone]

Rostislav1 в сообщении #792278 писал(а):

Что-то я не понял, что от чего отличать? $\[z'\]$ - всегда производная от $\[z\]$ по $\[y\]$, а $\[y'\]$ - всегда производная $\[y\]$ по $\[x\]$

Нет, не всегда: $y''=(y')'=z'=z'y'=z'z$. Третье равенство здорово выглядит, не правда ли?

А у Вас вообще какая проблема на данный момент осталась?

[Rostislav1]

Цитата:

А у Вас вообще какая проблема на данный момент осталась?

Я хотел бы узнать верно ли мое решение, и особенно то, что я написал здесь

Rostislav1 в сообщении #792256 писал(а):

из 2-го пункта получаем
$\[x = \frac{1}{{3*\sqrt[3]{{4y}}}} + c\]$
а из 1-го
$\[x = \frac{{\ln ({c_1}^4 + cy)}}{{{c_1}}} + {c_2}\]$
А так же, частное решение $\[y = 0\]$
Верно ли это?И все ли частные решения я учел?

[Someone]

Rostislav1 в сообщении #792256 писал(а):

А так же, частное решение $\[y = 0\]$
Верно ли это?И все ли частные решения я учел?

Когда Вы принимали $y$ за независимую переменную, Вы могли потерять решения вида $y=C$. Подходящие значения $C$ можно найти, подставив эту функцию в заданное уравнение.

Rostislav1 в сообщении #792256 писал(а):

а из 1-го
$\[x = \frac{{\ln ({c_1}^4 + cy)}}{{{c_1}}} + {c_2}\]$

Уравнение $y'=C_1y+C_1^4$ — линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Неужели его общее решение нужно записывать в таком страшном виде?

Rostislav1 в сообщении #792186 писал(а):

$z = - \sqrt[3]{4}{y^{\frac{4}{3}}}$

У меня получилось другое выражение и, соответственно, другое решение.

[SpBTimes]

Rostislav1 в сообщении #792349 писал(а):

Я хотел бы узнать верно ли мое решение, и особенно то, что я написал здесь

Когда выражали $z$, там эта четверка снизу :)

[Rostislav1]

$\[\begin{gathered} z = - \frac{{3{y^{\frac{4}{3}}}}}{{4\sqrt[3]{4}}} = \frac{{dy}}{{dx}} \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt[3]{y}}} = - \frac{3}{{4\sqrt[3]{4}}}x \hfill \\ y = - \frac{{256}}{{3x}} + c \hfill \\ \end{gathered} \]$
Верно?

Цитата:

Уравнение $y'=C_1y+C_1^4$ — линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Неужели его общее решение нужно записывать в таком страшном виде?

Но можно же оставить в таком виде?

Цитата:

Когда Вы принимали $y$ за независимую переменную, Вы могли потерять решения вида $y=C$.

Я делил на $\[{z^4} \ne 0\]$ и на $ \[z' \ne 0\]$, из первого, $\[y = c\]$, а из второго, $\[y = {c_1}x + {c_2}\]$ ,так?

[Someone]

Rostislav1 в сообщении #792587 писал(а):

$\[\begin{gathered} z = - \frac{{3{y^{\frac{4}{3}}}}}{{4\sqrt[3]{4}}} = \frac{{dy}}{{dx}} \hfill \\ \frac{1}{{\sqrt[3]{y}}} = - \frac{3}{{4\sqrt[3]{4}}}x \hfill \\ y = - \frac{{256}}{{3x}} + c \end{gathered} \]$
Верно?

Первое верно. Второе — нет. Третье — вообще бред.