2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Аффинное подпространство.
Сообщение23.11.2013, 16:58 
Аватара пользователя
В книжке "Линейная алгебра и геометрия" Шафаревича и Ремизова даётся следующее определение аффинного подпространства некоторого аффинного пространства:
Цитата:
Подмножество $V'$ аффинного пространства $(V, L)$ называется аффинным подпространством, если множество векторов $\overrightarrow{AB}$ для всех $A, B \in V'$ образует векторное подпространство $L'$ векторного пространства $L$.

Далее утверждается, что, очевидно, любое аффинное подпространство само является аффинным пространством. Но мне кажется это не так: возьмем в качестве аффинного пространства плоскость (обычную плоскость из курса планиметрии), а в качестве подпространства некоторую прямую без одной точки (ясно, что множество векторов образованное точками этого множества является векторным подпространством исходного), оно не является аффинным пространством. Или я не понимаю чего-то?
И еще мне кажется, что если заменить "для всех $A,B \in V'$" на "для некоторого фиксированного $A \in V'$ и любого $B \in V'$", то все будет нормально.

 
 
 
 Re: Аффинное подпространство.
Сообщение23.11.2013, 17:08 
Аватара пользователя
А как там определяется "вектор" $\overrightarrow{AB}$? Наверное, с помощью некоторой факторизации?

 
 
 
 Re: Аффинное подпространство.
Сообщение23.11.2013, 17:18 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #791762 писал(а):
А как там определяется "вектор" $\overrightarrow{AB}$? Наверное, с помощью некоторой факторизации?

Нет. Там аффинное пространство определялось как упорядоченная двойка из множества точек и векторного пространства с правилом (обладающим некоторыми свойствами), сопоставляющим каждым двум точками некоторый вектор, и под вектором $\overrightarrow{AB}$ понимался вектор соответствующий точкам А и В по этому правилу.

 
 
 
 Re: Аффинное подпространство.
Сообщение23.11.2013, 17:25 
Аватара пользователя
А правило - типа правила треугольника (параллелограмма)? Ну да, я так и думала. То есть пр сути вектор можно отложить от точки. Но это и дает факторизацию, так как разные "отрезки со стрелками" задают один вектор.

Я так поминаю ваш вопрос. Если взять подмножество и построить все упорядоченные пары, факторизуя это множество, получим линейное подпространство. Но этого ведь мало, надо, чтобы каждый элемент этого подпространства (свободный вектор) можно было отложить от любой точки. Это как-то должно получаться из определения, из тех самых правил, о которых вы говорите.

 
 
 
 Re: Аффинное подпространство.
Сообщение23.11.2013, 17:30 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #791768 писал(а):
А правило - типа правила треугольника (параллелограмма)?

А что Вы имеете в виду под правилом треугольника? Вообще правило в смысле функции из декартового квадрата множества точек в векторное пространство.

provincialka в сообщении #791768 писал(а):
Я так поминаю ваш вопрос. Если взять подмножество и построить все упорядоченные пары, факторизуя это множество, получим линейное подпространство. Но этого ведь мало, надо, чтобы каждый элемент этого подпространства (свободный вектор) можно было отложить от любой точки. Это как-то должно получаться из определения, из тех самых правил, о которых вы говорите.

Но в случае с прямой без одной точки не получается же.
Свойства там такие:
1)Для любых трех точек $A, B, C $ выполняется$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
2)Для любых трех точек $A, B, C $ существует и только одна точка $D$ такая, что $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$
3)Для любых двух точек$A, B$ и любого элемента поля $\lambda$ существует и только одна точка $C$ такая, что $\lambda\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$

 
 
 
 Re: Аффинное подпространство.
Сообщение23.11.2013, 17:49 
Не совсем корректное определение. Его надо понимать в том смысле, что для любой точки $A$ множество векторов $\overrightarrow{AB}$, где $B$ пробегает все $V'$, образует подпространство.

Вообще, обычно аффинное подпространство определяется как множество вида $p + L'$, где $p \in V$ - некоторая точка, а $L'$ - подпространство в $L$.

 
 
 
 Re: Аффинное подпространство.
Сообщение23.11.2013, 17:50 
Аватара пользователя
Ну вот. 1) это и есть правило треугольника. А 2) - это эквивалентность между векторами-отрезками.
А на прямой с выколотой точкой не будет выполняться (2), если точка $D$ как раз попадет на выколотую.

-- 23.11.2013, 18:51 --

AV_77, согласна с вами. Меня просто смутили имена авторов - солидные же люди.

 
 
 
 Re: Аффинное подпространство.
Сообщение23.11.2013, 18:04 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #791775 писал(а):
Меня просто смутили имена авторов - солидные же люди.

Вот и меня они тоже смутили.
AV_77 в сообщении #791774 писал(а):
что для любой точки $A$ множество векторов $\overrightarrow{AB}$, где $B$ пробегает все $V'$, образует подпространство.

Должно хватить одной такой точки А.

 
 
 
 Re: Аффинное подпространство.
Сообщение23.11.2013, 18:05 
определение аффинного пространсва некоторое время обсуждалось начиная отсюда post749221.html#p749221 и ниже

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group